Question

（本小題滿分14分）  已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍．

（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對數的底數）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（Ⅱ）．（Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考出了導數在研究函數中的運用。

（1）因為當時，（），

（），

由解得，由解得．得到單調區間。

（2）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可，轉化思想的運用。

（3）據（Ⅱ）知當時，在上恒成立（或另證在區間上恒成立）結合放縮法得到結論。

（Ⅰ）當時，（），

（），

由解得，由解得．

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．········· 4分

（Ⅱ）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．  5分

由，

（ⅰ）當時， ，當時，，函數在上單調遞減，故成立．   6分

（ⅱ）當時，由，因，所以，

①若，即時，在區間上，，則函數在上單調遞增，在上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；

②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．·························· 8分

（ⅲ）當時，由，∵，∴，

∴，故函數在上單調遞減，故成立．

綜上所述，實數a的取值范圍是．··················· 10分

（Ⅲ）據（Ⅱ）知當時，在上恒成立（或另證在區間上恒成立），    11分

又，

∵

，

∴．··········· 14分