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已知函數f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R），函數f（x）的導函數f′（x）．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若b=0，不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1對于任意的正數x都成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，a+b＜2

3

，且函數f（x）在x=s和x=t處取得極值，試證明：對于曲線上的點A（s，f（s）），B（t，f（t）），向量

OA

與

OB

不可能垂直（O為坐標原點）．

已知函數f（x）定義域為[-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數；
（2）證明：f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

已知函數f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，  g(x)=-x2+x+1，若函數f（x）與g（x）的圖象的一個交點P的橫坐標為1，且兩曲線在點P處的切線互相垂直．
（1）求：函數h（x）=f（x）-x的單調遞增區間．
（2）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：實數k的取值范圍．