Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1圖象的對稱中心為（0，1）；函數(shù)g(x)=ax3+

1

2

sinθ•x2-2x在 區(qū)間[-2，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）=f（x）-g（x），試證：對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由中心對稱的性質(zhì)：若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點（a，f（a））對稱，則f（a+c）+f（a-c）=2f（a），可得關(guān)于b的等式，然后整理可解b．
（Ⅱ）由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得g′（2）≤0，由函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得g′（1）=0，則整理這兩個關(guān)系式即可求得sinθ的值與g（x）的解析式．
（Ⅲ）先由（Ⅰ）、（Ⅱ）求出φ（x）；然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需證明對任意的x₁、x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂時，φ'（x）＞2即可；再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性易知（1，+∞）是φ'（x）的遞增區(qū)間，顯然φ'（x）＞φ'（1）=2．
則問題得證．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）+f（-x）=2，
即x³+bx²+（b²-1）x+1-x³+bx^2-（b²-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g'（x）=3ax²+sinθ•x-2
由

g′(-2)≤0 g′(1)=0

?

12a-2sinθ-2≤0 3a+sinθ-2=0

，消去a可得sinθ≥1，
從而sinθ=1，a=

1

3

，
∴sinθ=1，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x．
（Ⅲ）證明：φ(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2+x+1
∴φ'（x）=2x²-x+1=2(x-

1

4

)2+

7

8

．
對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，
|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|?|φ'（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ'（x）＞φ'（1）=2×

9

16

+

7

8

=2
∴對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

點評：本題考查中心對稱的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，知識的考查面較廣．