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如圖：已知線段AB=4，動圓O₁與線段AB相切于點C，且AC-BC=2

2

，過點A，B分別作⊙O₁的切線，兩切線相交于點P，且P、O₁均在AB的同側．
（Ⅰ）建立適當坐標系，當O₁位置變化時，求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過點B作直線交曲線E于點M、N，求△AMN面積的最小值．

如圖：已知線段AB=4，動圓O₁與線段AB相切于點C，且AC-BC=2

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，過點A，B分別作⊙O₁的切線，兩切線相交于點P，且P、O₁均在AB的同側．
（Ⅰ）建立適當坐標系，當O₁位置變化時，求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過點B作直線交曲線E于點M、N，求△AMN面積的最小值．

已知圓柱OO₁底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面．動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO₁逆時針旋轉θ（0＜θ＜π）后，邊B₁C₁與曲線Γ相交于點P．
（1）求曲線Γ長度；
（2）當θ=

π

2

時，求點C₁到平面APB的距離；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小為

π

4

？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由．