Question

如圖所示，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過D點且與AB不垂直的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，問是否存在這樣的直線l使

OM

+

ON

與

AQ

平行，若平行，求出直線l的方程，若不平行，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，利用曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變可得曲線C為以O為中心，以A，B為焦點的橢圓，再求出對應的a，b，c即可．
（Ⅱ）先把直線直線l的方程與橢圓方程聯立，求出點M、N的坐標和斜率的關系以及斜率的取值范圍，再利用

OM

+

ON

與

AQ

平行，求出對應的斜率看是否符合要求即可．

解答：解：（Ⅰ）以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系．（1分）|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+1

=2

5

＞|AB|=4
∴曲線C為以O為中心，以A，B為焦點的橢圓，（3分）
設長半軸長為a，短半軸長b，半焦距為c
∴a=

5

，c=2，b=1所以所求橢圓C的方程為

x2

5

+y2=1（5分）
（Ⅱ）設存在這樣的直線l使

OM

+

ON

與

AQ

平行，設直線l方程為y=kx+2
由

y=kx+2 x2 5 +y2=1

消去Y，整理得（5k²+1）x²+20kx+15=0，（7分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）△=（20k）²-4（5k²+1）×15=20（5k²-3）＞0?k2＞

3

5

．
x1+x 2=

-20k

5k2+1

，y1+y2=k(x1+x2)+4=

4

5k2+1

（9分）

OM

+

ON

=(x1+x 2，y1+y2)，

AQ

=（2，1）
∵

OM

+

ON

與

AQ

平行
∴

-20k

5k2+1

×1=

4

5k2+1

×2∴k=-

2

5

（11分）
∴k=-

2

5

與k2＞

3

5

矛盾
所以不存在這樣的直線l使

OM

+

ON

與

AQ

平行（12分）

點評：本題涉及到圓，直線于橢圓以及向量共線問題，是對知識的綜合考查．作這一類型題，一定要認真讀題，把題中條件轉化為數學符號．