Question

如圖所示,已知半圓O的直徑為2,A為直徑的延長線上一點,且OA=2,B為半圓周上任意一點,以AB為一邊作等邊△ABC,問:B在什么位置時,四邊形OACB的面積最大?并求出這個最大面積.

Answer 1

解:設∠AOB=θ,0＜θ＜π.

    因為OB=1,OA=2,

    所以AB²=1²+2²-2·1·2·cosθ=5-4cosθ.

    所以S_{四邊形OACB}=·1·2·sinθ+(5-4cosθ)

    =sinθ-cosθ+

   =2sin(θ-)+.

    因為0＜θ＜π,

    所以當θ-=,

    即θ=時,S_{四邊形OACB}最大為2+.

    所以當∠AOB為時,四邊形OACB的面積最大,且最大面積為2+.