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13．觀察下列式子：……，則可以猜想：當(dāng)時(shí)，有___________________。

14．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)相等，則_________。

15．在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，、、的面積分別為、、，則三棱錐的外接球的體積為_(kāi)____________。

16．某同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論：

①等式在時(shí)恒成立； ②函數(shù)的值域?yàn)?sub>

③若則一定有；   ④函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)。

其中正確結(jié)論的序號(hào)有_______________（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

17．（本小題滿分12分）

    中，角、、所對(duì)的邊分別為、、 且

（1）求角的大小；

（2）若向量，向量，求的值。

18．（本小題滿分12分）

有編號(hào)為1，2，3，…，的個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為1，2，3，…的個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為，已知時(shí)，共有6種坐法。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望。

19．（本小題滿分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體

中點(diǎn)

在棱上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表

面爬到點(diǎn)，所爬的最短路程為。

（1）求證：

（2）求的長(zhǎng)度：

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得三面角的大小為。若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20．（本小題滿分12分）

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，對(duì)于，總有成等比數(shù)列，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)，作數(shù)列，使，且…，求…的值；

21．（本小題滿分12分）

已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程：

（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求直線的方程：

（3）在直線上否存在點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使得，若存，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由。

22．（本小題滿分11分）

已知函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？

數(shù)學(xué)試卷（理科）

1―5：B D B B C     6―10：D C A D A      11―12：D D

13．     14．     15．    16．①②③

17．解：（1）∵

∴………………………………2分

∴，∴或

∵，∴………………………………………………………………4分

（2）∵ ∴，即

又 ∴，即②…………6分

由①②可得 ∴ ……………………………………………8分

又，∴…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，有種坐法  ………………………………………………2分

∴，即

或（舍去）   ∴…………………………………4分

（Ⅱ）∵ 的可能取值是0，2，3，4，

又∵

……………………………………8分

∴的概率分布為：

0

2

3

4

                                                               ……………10分

則。      …………………………………12分

19．解：（1）證明：連結(jié)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：平面，∴是在平面內(nèi)的射影。又∵

∴

∴（三垂線定理）………………4分

（2）設(shè)，∵四邊形是正方形，

∴小螞蟻從點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)可能

有兩種途徑，如圖甲的最短路程為

如圖乙的最短路?為

∵

∴

∴  ∴…………9分

（3）假設(shè)存在，平面的法向量

設(shè)平面的法向量 則

∴………………………………………………………………………10分

由題意得：

解得：或（舍去）

即當(dāng)點(diǎn)離為時(shí)，三面角的大小為。   …………………12分

20．解：（1）由知，

所以又，所以，

若為奇數(shù)，由得。

若為偶數(shù)，則由得，所以。

綜上所述，     ………………………………………………………4分

（2）由于……，，

將以上各式左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相乘得到：

（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)， ∴；（8分）

時(shí)，，∴          （10分）

∴

∴                                                    （12分）

21．解：（1）由題意知，設(shè)。由余弦定理得

                     （2分）

又                                  （4分）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)取最小值

令，∵，∴。

故所求點(diǎn)的軌跡方程為                                    （6分）

（2）設(shè) 則由可得，

故                                             （8分）

∵、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上，故且消去得

，解得，又，

∴，得解。故的取值范圍是。          （12分）

22．解：（Ⅰ），令，得或。       （2分）

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

而，∴當(dāng)時(shí)，的值域是。 （4分）

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在上的值域是A，

∵若對(duì)任意,總存在，使，∴（6分）

.

①當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∵ ∴當(dāng)時(shí)，不滿足；   （8分）

②當(dāng)時(shí)，，

令，得或（舍去）。                            （9分）

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的變化如下表：

0

2

－

0

＋

0

∴， ∵，

∴，解得。                              （11分）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，

∵

∴當(dāng)時(shí)，不滿足.                                   （13分）

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值 范圍是.                                （14分）