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江蘇省2009屆高三南京市高考預測卷
數 學 試 題
注 意 事 項
考生在答題前認真閱讀本注意事項及各題答題要求
1.本斌卷共4頁，包含填空題(第1題～第14題)、解答題(第15題～第20題)兩部分．本試卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回．
2.答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0．5毫米簽字筆填寫在試卷及答題紙上．
3.作答時必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題紙上的指定位置，在其它位；置作答一律無效．
4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.
一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題紙相應位置上．
1.已知集合，集合，則=
試題詳情
2.若，則＝
3.一個容器的外形是一個棱長為2的正方體，其三視圖
如圖所示，則容器的容積為
4.已知點，過點的直線，若可行域
的外接圓的直徑為20，則實數
5.若向量=，=，且的夾角為鈍角，則的取值范圍是____________
6.已知是偶函數，當時,且當時恒成立．則的值是
7.等差數列中．＜ 0 ， 0 ．且，為數列的前項和，則使> 0 的的最小值為
8.若將函數的圖象按向量平移后得到函數的圖象，則函數單調遞增區間是
9.在中，已知角所對的邊分別是，且，又，則的面積的最大值為
10.下列程序運行結果為
i←1
While i<7
i←i+2
s←2i+3
End While
Print s
End
11. 已知區域，區域，點在區域，則的概率是
12.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點 （c，0）若c是的等比中項，是與 的等差中項，則橢圓的離心率
是
13.對于在區間[a，b]上有意義的兩個函數，如果對于區間[a，b]中的任意x均有，則稱在[a，b]上是“密切函數”， [a，b]稱為“密切區間”，若函數與在區間[a，b]上是“密切函數”，則密切區間為
14. 給定正整數按右圖方式構成倒立三角形數表，第一行依次寫上數l，2，3，…，，在第一行的每相鄰兩個數正中間的下方寫上這兩個數之和，得到第二行的數(比上一行少一個數)，依次類推，最后一行(第行)只有一個數，例如=6時數表如圖所,則當＝2009時最后一行的數是 .
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15. （本小題共14分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，，．
（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；
（Ⅱ）當點位于線段PC什么位置時，平面？
（Ⅲ）求四棱錐的體積．
16.（本小題共14分）
已知二次函數對任意，都有成立，設向量（sinx，2），
（2sinx，） ，（cos2x，1） ，（1，2）， 當[0，]時，
求不等式f（）＞f（）的解集．
17.（本小題共15分）
統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。
（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
18. （本小題共15分）
如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點．
（Ⅰ）設點，若當且僅當橢圓上的點在橢圓的頂點時， 取得最大值與最小值，求的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，且與直線相交于，兩點（不是橢圓的左右頂點），并滿足．試研究：直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由．
19.（本小題共16分）
已知二次函數滿足條件:① ; ② 的最小值為.
(1) 求函數的解析式;
(2) 設數列的前項積為, 且, 求數列的通項公式;
(3) 在(2)的條件下, 若是與的等差中項, 試問數列中第幾項的值最小? 求出這個最小值.
20.（本小題共16分）
設函數，且，其中是自然對數的底數.
（1）求與的關系；
（2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；
（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍.
1. {2，8} 2. 3. 4.
5. 6. 1 7.20
8. 9. 10.2
11. 12. 13. [2，3] 14.
15.證明：（Ⅰ）在中，
∵，，，∴．
∴．????????????????? 2分
又 ∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）當點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，平面．………5分
證明如下：連接AC，交于點N，連接MN．
∵，所以四邊形是梯形．
∵，∴．
又 ∵，
∴，∴MN．…………………………………………………7分
∵平面，∴平面．………………………………………9分
（Ⅲ）過作交于，
∵平面平面，
即為四棱錐的高．……………………………………………………11分
又 ∵是邊長為4的等邊三角形，∴．……………12分
在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高．
∴梯形的面積．
故．……………………………………………14分
16.設的二次項系數為，其圖象上兩點為（，）、B（，）因為，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)
∵ ，，，
，，，………………………………(4分)
∴ 當時，∵f（x）在x≥1內是增函數，
，．
∵ ， ∴ ．………………………………………………(8分)
當時，∵f（x）在x≥1內是減函數．
同理可得或，．………………………………………(11分)
綜上：的解集是當時，為
當時，為，或．
17.解：（1）若千米/小時，每小時耗油量為升/小時. 共耗油升.
所以，從甲地到乙地要耗油17.5升.
（2）設當汽車以千米/小時的速度勻速行駛時耗油量最少，，耗油量為S升.
則， ，
令，解得，.
列表：
單調減
極小值11.25
單調增
所以，當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，耗油量最少，為11.25升.
18.解：（Ⅰ）設
對稱軸方程，由題意或或
∴或或∴
（Ⅱ）由已知與（Ⅰ）得：，， ，，．
橢圓的標準方程為．
設，，聯立
得，
又，
因為橢圓的右頂點為，，即，
，
解得：，，且均滿足，
當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；
當時，的方程為，直線過定點．
所以，直線過定點，定點坐標為．
19. 解: (1) 由題知: , 解得 , 故.
(2) ,
,
又滿足上式. 所以.
(3) 若是與的等差中項, 則,
從而, 得.
因為是的減函數, 所以
當, 即時, 隨的增大而減小, 此時最小值為;
當, 即時, 隨的增大而增大, 此時最小值為.
又, 所以,
即數列中最小, 且.
20. 解：（1）由題意得
而，所以、的關系為
（2）由（1）知，
令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.
①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，
∴在內是單調遞減函數，即適合題意；
②當＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，
只需，即，
∴在內為單調遞增函數，故適合題意.
③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.
綜上所述，的取值范圍為.
（3）∵在上是減函數，
∴時，；時，，即，
①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；
②當0＜＜1時，由，
又由（2）知當時，在上是增函數，
∴＜，不合題意；
③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，又在上是減函數，
故只需＞， ，而，
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，集合
，則
= 
，則
＝ 
，過點
的直線
，若可行域
=
，
=
，且
的夾角為鈍角，則
的取值范圍是____________
是偶函數，當
時
,且當
時
恒成立．則
的值是 
中．
＜ 0 ，
0 ．且
，
為數列
項和，則使
的圖象按向量
平移后得到函數
的圖象，則函數
中，已知角
所對的邊分別是
，且
，又
，則
，區域
，點
在區域
，則
的概率是
與雙曲線
有相同的焦點 
（c，0）若c是
的等比中項，
是
與 
的等差中項，則橢圓的離心率
13.對于在區間[a，b]上有意義的兩個函數
，如果對于區間[a，b]中的任意x均有
，則稱
與
在區間[a，b]上是“密切函數”，則密切區間為
按右圖方式構成倒立三角形數表，第一行依次寫上數l，2，3，…，
15. （本小題共14分）
中，平面
平面
，
，
是等邊三角形，已知
，
，
．
是
上的一點，證明：平面
平面
；
平面
？
對任意
，都有
成立，設向量
（sinx，2），
（2sinx，
） ，
（cos2x，1） ，
（1，2）， 當
[0，
]時，
）＞f（
）的解集．
已知甲、乙兩地相距
：
、
、
、
為橢圓
，若當且僅當橢圓
取得最大值與最小值，求
的取值范圍；
，最小值為
，且與直線
相交于
，
兩點（
不是橢圓的左右頂點），并滿足
．試研究：直線
是否過定點？若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由．
滿足條件:①
; ② 
.
, 且
, 求數列
是
與
的等差中項, 試問數列
中第幾項的值最小? 求出這個最小值.
，且
，其中
是自然對數的底數.
與
的關系；
，若在
上至少存在一點
，使得
＞
成立，求實數
3. 
4. 
6. 1 7.20 
9. 
10.2 
12. 
13. [2，3] 14. 
中，
，
，
，∴
．
．????????????????? 2分
平面
，
平面
，
平面
平面
．
，
平面
點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，
平面
．………5分
于點N，連接MN．
，所以四邊形
，∴
．
，
，∴
平面
作
交
于
，
平面
為四棱錐
的高．……………………………………………………11分
是邊長為4的等邊三角形，∴
．……………12分
在
中，斜邊
邊上的高為
，此即為梯形
．
．……………………………………………14分
的二次項系數為
，其圖象上兩點為（
，
）、B（
，
）因為
，
，所以
，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)
，
，
，
，
，
，………………………………(4分)
時，∵f（x）在x≥1內是增函數，
，
．
， ∴ 
．………………………………………………(8分)
時，∵f（x）在x≥1內是減函數．
或
，
的解集是當
，或
．
千米/小時，每小時耗油量為
升/小時. 共耗油
升.
千米/小時的速度勻速行駛時耗油量最少，
，耗油量為S升. 
，
， 
，解得，
. 
，由題意
或
或
或
或
∴
，
，
，
，
．
橢圓的標準方程為
． 
，
，聯立
， 
，
，
，即
， 
，
，
． 
，
，且均滿足
，
的方程為
，直線過定點
，與已知矛盾； 
，直線過定點
． 
, 解得
, 故
.
,
,
, 
滿足上式. 所以
. 
是
與
的等差中項, 則
, 
, 得
. 
的減函數, 所以
, 即
時, 
;
, 即
時, 
. 
, 所以
, 
中
.
，所以
、
的關系為
，
，要使
內是單調函數，只需
在
恒成立.
時，
，因為
＜0，
，∴
，
，即
，
適合題意. 
，只要
，即
時，
在
.
在
上是減函數，
時，
；
時，
，即
，
＜2，不合題意；
，
時，
＜
，不合題意；
＜2，又
在
＞
，
，而
，