重慶八中高2009級高三（下）第二次月考
數學試題（理科）
第Ⅰ卷(選擇題，共50分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．復數
的虛部為( )
A．1 B．i C．-1 D．-i
2．已知直線
和平面
，則
的一個必要非充分條件是( )
A．
且
B．
且
C．且
D．與所成角相等
3．已知
，則
的值為( )
A．
B．
C．
D．
4．設變量
滿足約束條件
，則
的最大值是( )
A．1 B．
C．
D．2
5．設兩個正態分布
和
的密度函數圖象如圖所示，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．設向量
滿足
，
且
，若
，則
( )
A．2
B．
7．已知
為R上的奇函數，且
，若
，則
=( )
A．0
B．
C．-1
D．1
8．若直線l:
與圓
沒有公共點，則過點
的直線與橢圓
的公共點個數為( )
A．至多一個 B．2個 C．1個 D．0個
9．二項式
展開式中，所有有理項（不含
的項）的系數之和為（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如果關于實數
的方程
的所有解中，僅有一個正數解，那么實數
的取值范圍為（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上．
11．集合
，則
．
12．若
，則
．
13．若雙曲線
，
上橫坐標為
的點到右焦點的距離小于它到左準線的距離，則雙曲線離心率
的取值范圍是
．
14．已知點A、B、C、D在同一球面上，AB
平面
，
，若
，
，
，則B、C兩點間的球面距離是
．
15．設函數
，
表示不超過實數m的最大整數，則函數
的值域是
．
三、解答題:本大題共6小題,共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本題滿分13分）
已知函數
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
．
（I）求
的值；
（II）將函數
的圖象向右平移
個單位后，得到函數
圖象，求
在區間
上的單調性．
17．（本題滿分13分）
某大學2009屆入學測試中，要求每位考生在10道題中隨機抽出2道題回答．
（I） 現在某位考生會答10道題中的6道，求這個考生答錯題目個數的分布列和數學期望；
（II）若答對其中一題即為及格，如果某位考生及格的概率小于
，那么他最多會幾道題？
18．（本題滿分13分）
如圖，四棱錐
－
中，底面為矩形，側面
底面，
，
，
．
（I）證明：
；
（II）設
與平面
所成的角為
，求二面角
－
－
的大小．
19．（本題滿分12分）
設數列
的首項
，其前n項和
滿足：
．
（I）求證：數列為等比數列；
（II）記的公比為
，作數列
，使
，
，求和：
．
20．（本題滿分12分）
已知拋物線
的焦點為F，準線為l．
（I）求拋物線上任意一點Q到定點
的最近距離；
（II）過點F作一直線與拋物線相交于A、B兩點，并在準線
上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：
是一個定值，并求出這個值．
21．（本題滿分12分）
已知函數
為常數
是實數集
上的奇函數，函數
是區間
上的減函數．
（I）求的值；
（II）若
在
上恒成立，求
的取值范圍；
（III）討論關于的方程
的根的個數．
一、選擇題
CDABA BCBAB
二、填空題
11. 
12. -1 13.1<e<2 14. 
15.{-1,0}
提示：8.利用點到直線的距離公式知
，即
在圓
內，也在橢圓
內，所以過點的直線與橢圓總有兩個不同的交點．
9.可以轉化為求
展開式中所有奇數項系數之和，賦值
即可．
10.原問題
有且僅有一個正實數解．令
，則
，令
，
，由
得
或
．又
時，
；
,
時，
．所以
．又
；
．結合三次函數圖像即可．
15. 
，
，即
，當m為整數時，值為0，m為小數時，值為-1，故所求值域為{-1,0}
三、解答題
16. （1）
…………………3分
由條件
………………………………………6分
（2）
，令
，解得
，又
所以
在
上遞減，在
上遞增…………………………13分
17.（1）答錯題目的個數
∴分布列為：
，期望
（道題）……7分
（2）設該考生會x道題，不會10-x道題，則
…10分
解得：
或
（舍），故該考生最多會3道題…………………………………13分
18.（1）作
，垂足為
，連結
，由題設知，
底面
，
且為
中點，由
知，
，
從而
，于是
，由三垂線定理知，
……………4分
（2）由題意，
，所以
側面
，又
側面
，所以側面
側面.作
，垂足為
，連接
，則
平面.
故
為
與平面所成的角，
…………………………………7分
由
，得:
, 又
，
因而
，所以
為等邊三角形.
作
，垂足為
，連結
.
由（1）知，
，又
，
故
平面
，
，
是二面角
的平面角………………………………………………...10分
.
，
，
，
所以二面角
為
或
……………………….13分
19.（1）由
,得
,
…2分
又
，
兩式相減，得：
，
綜上，數列
為首項為1，公比為
的等比數列…………………………..…….6分
（2）由
，得
，所以
是首項為1，，公差為
的等差數列，
……………………………….…………………………....9分
……………………….………………………....13分
20.（1）設點
，則
所以，當x=p時，
…………………………………………………….….4分
（2）由條件，設直線
，代入
，得：
設
，則
，
…......................................................................................7分
….10分
又
，所以
為定值2……………………………………………….12分
21. （1）
是奇函數，則
恒成立，
，
，故
…………………….2分
（2）
在
上單調遞減，
，
，
只需
（
恒成立．
令
，則
，而
恒成立，
．….…………………….7分
（3）由（1）知
，方程為
，
令
，
， 
，
當
時，
，
在
上為增函數；
當
時，
，在
上為減函數；
當
時，
．而
，
函數
、
在同一坐標系的大致圖象如圖所示，
當
即
時，方程無解；
當
，即
時，方程有一個根；
當
，即
時，方程有兩個根．………………………………….12分
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