2009年突破高考數學試題（整理三大題）
（二十三）
17．（本小題滿分12分）
已知二次函數
對任意
，都有
成立，
設向量
（sinx，2），
（2sinx，
），
（cos2x，1），
（1，2），
當
[0，
]時，求不等式f（
）＞f（
）的解集．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙隊進行籃球總決賽，比賽規(guī)則為：七場四勝制，即甲或乙隊，誰先累計獲勝四場比賽時，該隊就是總決賽的冠軍，若在每場比賽中，甲隊獲勝的概率均為0.6，每場比賽必須分出勝負，且每場比賽的勝或負不影響下一場比賽的勝或負．
（1）求甲隊打完第五場比賽就獲得冠軍的概率；
（2）求甲隊獲得冠軍的概率.
19．（本小題滿分12分）
如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，
E、F分別是AB、PD的中點.
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B為45°，AD=2，CD=3，
求點F到平面PCE的距離.
（二十四）
17．（本題滿分(12分）
已知函數
是定義在
上的奇函數,在
上
（Ⅰ）求函數的解析式;并判斷在上的單調性(不要求證明)
（Ⅱ）解不等式
.
18．（本題滿分14分）
某“帆板”集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度
（米）隨著時間
而周期性變化，每天各時刻
的浪高數據的平均值如下表：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
1．0
1．4
1．0
0．6
1．0
1．4
0．9
0．5
1．0
（Ⅰ）試畫出散點圖；
（Ⅱ）觀察散點圖，從
中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的解析式；
（Ⅲ）如果確定在白天7時~19時當浪高不低于0。
19.（本題滿分14分）
設二次函數
，已知不論
為何實數恒有
和
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）若
函數
的最大值為8，求
的值。
（二十五）
16．（本題滿分12分）
在
中，
分別是三個內角
的對邊．若
，
，求的面積
．
17．（本題滿分12分）
有紅藍兩粒質地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個面是8，四個面是2，藍色骰子有三個面是7，三個面是1，兩人各取一只骰子分別隨機擲一次，所得點數較大者獲勝.
（1）分別求出兩只骰子投擲所得點數的分布列及期望；
（2）求投擲藍色骰子者獲勝的概率是多少？
18．（本題滿分14分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？
（二十六）
16、（文科只做第一小題，本小題滿分12分）
已知甲、乙、丙三人獨自射擊命中目標的概率分別是、
、
。
（1）、若三人同時對同一目標進行射擊，求目標被擊中的概率；
（2）、若由甲、乙、丙三人輪流對目標進行射擊（每人只有一發(fā)子彈），目標被擊中則停止射擊。請問三人的射擊順序如何編排才最節(jié)省子彈?試用數學方法說明你的結論。
17、（本小題滿分14分）如圖，直三棱柱
中，∠ACB＝90°，AC=BC=CC’=2
（1）、求證：A’C⊥平面AB’C’；
（2）、求三棱錐B-AB’C’的體積；
（3）、求異面直線A’C與BC’所成的角。
18.（本小題14分）
已知數列
的前
項和為
,
的前項和為
，且
。(1)、求數列、的通項公式；
(2)、若對于數列
有，
,請求出數列的前n項和
（二十七）
17、（本小題滿分12分）
在△
中，
，
，
是三角形的三內角，a，b，
是三內角對應的三邊長，
已知
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若
，求角的大小.
18、（本小題滿分14分）
如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，
PD⊥BC,PD=1,PC=
.
(Ⅰ)求證:PD⊥面ABCD；
(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小.
19、（本小題滿分1４分第一、第二小問滿分各７分）
已知向量
滿足
,且
,令
，
（Ⅰ）求
（用
表示）；
（Ⅱ）當
時，
對任意的
恒成立，求實數
的取值范圍。
（二十八）
16．(本小題滿分14分) 已知
為銳角，且
.
（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
的值．
17．（本小題滿分14分）如圖, 在矩形
中,
,
分別為線段
的中點, 
⊥平面.
（Ⅰ）求證: 
∥平面
；
（Ⅱ）求證:平面
⊥平面
；
(Ⅲ) 若
, 求三棱錐
的體積.
18．(本小題滿分 12分)已知數列
為等差數列，且
，
．
(Ⅰ) 求數列的通項公式；(Ⅱ) 令
，求證：數列
是等比數列．
（二十三）
【解題思路】：設f（x）的二次項系數為m，其圖象上兩點為（1-x，
）、B（1＋x，
）因為
，，所以
，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)
∵ 
，
，
，
，
，
，………………………………(4分)
∴ 當
時，∵f（x）在x≥1內是增函數，
，
．
∵ 
， ∴ 
．………………………………………………(8分)
當
時，∵f（x）在x≥1內是減函數．
同理可得
或
，．………………………………………(11分)
綜上：
的解集是當時，為
當時，為
，或
．…………………………(12分)
【試題評析】：本小題主要考查最簡單三角不等式的解法等基本知識，涉及到分類討論、二次函數的對稱性、向量的數量積、函數的單調性等基本知識和方法的綜合運用，考查運算能力及邏輯思維能力。
18．（理）【解題思路】：（1）設甲隊在第五場比賽后獲得冠軍為事件M，則第五場比賽甲隊獲勝，前四場比賽甲隊獲勝三場,
依題意得
．……………………………(6分)
（2）設甲隊獲得冠軍為事件E，則E包含第四、第五、第六、第七場獲得冠軍四種情況，且它們彼此互斥．
∴ 
．
………………………………………………………………(12分)
【試題評析】：考查互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，n次獨立重復實驗恰好k次發(fā)生的概率。考查邏輯思維能力，要求考生具有較強的辨別雷同信息的能力。
19．【解題思路】：解法一：（1）取PC中點M，連結ME、MF，則MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF
平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°， ………………………………………………………………(6分)
∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM
平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)
由已知，PD=
，PF=
，PC=
，△PFH∽△PCD，∴
，
∴FH=
.
………………………………………………………………(12分)
解法二：（1）取PC中點M，連結EM，
=
+
=
，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)
（2）以Ａ為坐標原點，分別以
所在直線為x、y、z
軸建立坐標系. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)
∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E
, C(3, 2, 0)，設平面PCE的法向量為
=(x, y, z)，則⊥
，⊥
，而=（-
，0，2），
=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-
x，z=x. 取x=4
得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)
又
=（0，1，-1），
故點F到平面PCE的距離為d=
.…………(12分)
【試題評析】：本小題主要考查直線與平面的位置關系等基本知識，是否利用空間向量供考生選擇。考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力
（二十四）
17. 解：（1） 設
，則
…………………1分
…………………2分
又是奇函數，所以
…………………3分
=
……4分
………………5分
是[-1，1]上增函數………………6分
（2）
是[-1，1]上增函數，由已知得:
…………7分
等價于
…………10分
解得：
，所以
…………12分
二次函數
在
上遞減………………………12分
故
時，
……………………13分
，
…………………………14分
（二十五）
16．解： 由題意，得
為銳角，
， 3分
， 6分
由正弦定理得 
， 9分
． 12分
17．（本題滿分12分）
有紅藍兩粒質地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個面是8，四個面是2，藍色骰子有三個面是7，三個面是1，兩人各取一只骰子分別隨機擲一次，所得點數較大者獲勝.
（1）分別求出兩只骰子投擲所得點數的分布列及期望；
（2）求投擲藍色骰子者獲勝的概率是多少？
17．解：（1）設紅色骰子投擲所得點數為
，其分布如下：
8
2
P
|
；………………………………………………4分
，其分布如下；
………………………………8分
…………12分
,
4分
a,0,0).
又
∥
,
則PA=
∴
可求得平面PBC的法向量
.
)|=
),∴
=(
又
∴
,
,∴PA=
,即k=1,反之,當k=1時,三棱錐O-PBC為正三棱錐.
…… 6分
由此可求出此時所耗子彈數量的期望為：
…… 13分
（4分）
…… 2分
…… 4分
…… 6分
…… 7分
2 … ①
…② ……10分
＝
……14分
……………………………… 6分
故△ABC是以角C為直角的直角三角形 
………………………………………………12分
18．（本小題滿分14分）
,
.……2分
,……4分
,
,
,從而
,
就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分
,
, ∴
,………………12分
∴ 
. 
，對
兩邊平方得
------------------------6分
，當且僅當
＝1時取得等號. 
對任意的
恒成立，等價于
在
上恒成立，而
在