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設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標伸長到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓
x2
9
+
y2
4
=1在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．
分析：（1）根據已知條件，求出矩陣M，由M•M-1=E，求出M-1．
（2）設橢圓上任意一點（x0，y0），變換后的坐標（x0′，y0′），根據逆變換公式，知道之間的關系，代入，即可求出新曲線方程．
解答：解：（1）M-1=
1
3
0
0
1
2
．（5分）
（2）任意選取橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上的一點P（x0，y0），它在矩陣M-1=
1
3
0
0
1
2

對應的變換下變為P'（x0′，y0′），則有
1
3
0
0
1
2
x0
y0
=
x
′
0
y
′
0
，故
x0=3
x
′
0
y0=2
y
′
0
．
又因為點P在橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上，所以
x
2
0
9
+
y
2
0
4
=1，即有
9
x
′
0
2
9
+
4
y
′
0
2
4
=1，
因此x0'2+y0'2=1．
從而橢圓
x2
9
+
y2
4
=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1．（10分）
點評：本題主要考查逆矩陣、逆變換及其計算能力，難度比較大，做題要仔細．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）
設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，且縱坐標伸長到原來4倍的伸壓變換，求橢圓
x2
9
+
y2
16
=1在M-1的作用下得到的新曲線的方程．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省福州市高三綜合練習理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設矩陣M是把坐標平面上的點的縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標保持不變的伸縮變換．

（Ⅰ）求矩陣M；

（Ⅱ）求矩陣M的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省揚州中學高三（上）12月質量檢測數學試卷（解析版） 題型：解答題

設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標伸長到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．

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科目：高中數學 來源：2009年高考數學調研試卷（解析版） 題型：解答題

設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標伸長到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．

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