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解答：解：（1）∵函數f(x)=lg(x+

x2+a

)為奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+

0+a

)=lg

a

=0，
∴

a

=1，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，
又由y=

2

sin(x+

π

4

)的周期是2π，將其函數圖象上移一個單位后得到y=

2

sin(x+

π

4

)+1的圖象，
然后再將X軸下方的圖象沿X軸旋轉180°，得到f（x）=1+

2

sin(x+

π

4

)|的圖象，
∴函數f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx與y=sinx的圖象，由于y=lgx在（0，∞）上為增函數且l，g10=1，lg1=0，
故在區間（0，π）內y=lgx與y=sinx有一個交點，在（π，2π）內無交點，在（2π，3π）內有三個交點，
∴方程lgx=sinx有且只有三個實數根；
  
（4）∵函數f(x)=

x

是單調遞增的凸函數，∴在0＜x₁＜x₂，則f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
∴若0＜x₁＜x₂，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是錯誤的；
故答案為（1）（2）（3）．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判定，同時考查了函數的一些性質，注意數形結合的方法．