【題目】對于在某個區間
上有意義的函數
，如果存在一次函數
使得對于任意的
，有
恒成立，則稱函數
是函數的一個弱漸近函數.
（1）若函數
是函數
在區間
上的一個弱漸近函數，求實數
的取值范圍；
（2）證明：函數
是函數
在區間上的弱漸近函數；
（3）試問：函數
與函數
（其中
為自然對數的底數）在區間
上是否存在相同的弱漸近函數？如果存在，請求出對應的弱漸近函數應滿足的條件；如不存在，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）見解析；（3）存在，
，其中
.
【解析】
（1）由弱漸近函數的定義得出
，由此可求出實數
的取值范圍；
（2）當
時，利用分子有理化結合放縮法證明出
，結合弱漸近函數的定義可證明結論成立；
（3）假設存在滿足題意的弱漸近函數
，根據弱漸近函數的定義得出
和
，可求得
以及實數
所滿足的不等式組，解出即可得出滿足題意的若漸近函數
的解析式.
（1）依題意，當
時，
恒成立，
即
恒成立，故
，所以，實數的取值范圍是；
（2）當時，
，
，.
故
，得證；
（3）假設存在滿足題意的弱漸近函數，
，
若
，由于當
時，
，故
，
但是，當
時，
，故
，
不符合“
恒成立”的要求，所以，
此時
，則
，
解得：
；
，
當時，
，故
，
得
，解得：
.
綜上所述，函數
與函數
在區間
上存在相同的弱漸近函數，對應的弱漸近函數是，其中.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合
（
，且
），若存在非空集合
，使得
，且
，并任意
，都有
，則稱集合S具有性質P，
稱為集合S的P子集.
（1）當
時，試說明集合S具有性質P，并寫出相應的P子集
；
（2）若集合S具有性質P，集合T是集合S的一個P子集，設
，求證：任意
，
，都有
；
（3）求證：對任意正整數，集合S具有性質P.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，點
在橢圓
上，焦點為
，圓O的直徑為
．
（1）求橢圓C及圓O的標準方程；
（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P，且直線l與橢圓C交于
兩點．記
的面積為
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國已進入新時代中國特色社會主義時期，人民生活水平不斷提高．某市隨機統計了城區若干戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（記為P元）的情況，并根據統計數據制成如圖頻率分布直方圖．
（1）根據頻率分布直方圖估算P的平均值
；
（2）若該市城區有4戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分別增加了42元，50元，52元，60元，從這4戶中隨機抽取2戶，求這2戶P值的和超過100元的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1所示，在直角梯形DCEF中，
，
，
，
，將四邊形ABEF沿AB邊折成圖2.
（1）求證：
平面DEF；
（2）若
，求平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值.
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