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在雙曲線=1上求一點,使它到直線l:x-y-3=0的距離最短,并求最短距離.

解:與直線l:y=x-3平行的雙曲線的切線方程可設為y=x+m.將y=x+m代入雙曲線的方程,整理得16x2+50mx+25m2+225=0,根據直線與雙曲線相切的充要條件,有Δ=2 500m2-64×(25m2+225)=0,解得m=±4,根據題意,m可取-4.將y=x-4代入雙曲線方程,整理,得16x2-200x+625=0,解得重根x=.因而y=x-4=,故得切點(,).由于直線y=x-3與切線y=x-4的距離為,所以雙曲線上的點到直線l的最短距離是.

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