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【答案】分析：根據已知條件，∠DME=∠A=∠B=45度，結合圖形上的公共角∠E，即可推出AMF∽△BGM，再根據相似三角形的性質，推出BG的長度，依據銳角三角函數推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．
解答：解：∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），
∠DME=∠A=∠B（已知），
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠DME=∠A=∠B=45°
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵M為AB的中點，
∴AM=BM=2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴BG==，
AC=BC=4cos45°=4，
∴CG=4-=，CF=4-3=1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG===．
故答案為：，．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、解直角三角形、等腰三角形的性質，解題的關鍵找到相似的三角形，根據其性質求出BG、FG的長度．