Question

（2007•深圳）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于A，B兩點．
（1）求線段AB的長；
（2）若一個扇形的周長等于（1）中線段AB的長，當扇形的半徑取何值時，扇形的面積最大，最大面積是多少；
（3）如圖2，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C，D兩點，垂足為點M，分別求出OM，OC，OD的長，并驗證等式是否成立；
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，試說明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別過A、B兩點作AE⊥x軸，BF⊥y軸，垂足分別為E、F，利用勾股定理求出AB的值．
（2）設扇形的半徑為x，扇形面積為y．根據扇形的面積公式求出函數關系式化簡即可．
（3）過點A作AE⊥x軸，垂足為點E．證明△AEO∽△CMO，利用線段比求出CO、OD的值．利用勾股定理求出OM．
（4）由題意利用勾股定理得AB²=a²+b²．然后推出a²b²=c²•h²可證明．
解答：解：（1）在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于A，B兩點．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如圖1，分別過A、B兩點作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，
∴AB=OA+OB==

（2）設扇形的半徑為x，則弧長為，扇形的面積為y
則==
∵a=-1＜0
∴當時，函數有最大值y_最大=

（3）如圖2，過點A作AE⊥x軸，垂足為點E．
∵CD垂直平分AB，點M為垂足
∴
∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴
∴
∴
同理可得
∴
∴
∴

（4）等式成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴
∴ab=c•h
∴a²b²=c²•h²
∴a²b²=（a²+b²）h²
∴
∴
∴
∴．
點評：本題考查的是二次函數的綜合題，同時要注意的是函數與勾股定理相結合解答題目．