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B。

如圖，連接AP，

∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。
在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB="BC" ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。
∴AP=P′C。
∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′=" 2" PB。
∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。
設P′A=x，則AP=3x，
在Rt△APP′中，。
在Rt△APP′中，。
∴，解得PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故選B。