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已知函數f(x)=(1+
1
tanx
)sin2x+msin(x+
π
4
)sin(x-
π
4
)．
（1）當m=0時，求函數f（x）在區間(
π
8
，
3π
4
)上的取值范圍；
（2）當tanα=2時，f(α)=
6
5
，求m的值．
分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分別利用同角三角函數間的基本關系、二倍角的正弦、余弦函數公式以及特殊角的三角函數值把f（x）化為一個角的正弦函數，利用x的范圍求出此正弦函數角的范圍，根據角的范圍，利用正弦函數的圖象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式及積化和差公式化簡得到關于sin2x和cos2x的式子，把x換成α，根據tanα的值，利用同角三角函數間的基本關系以及二倍角的正弦函數公式化簡求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=
6
5
中得到關于m的方程，求出m的值即可．
解答：解：（1）當m=0時，f（x）=（1+
cosx
sinx
）sin2x=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x+sin2x
2
=
1
2
[
2
sin（2x-
π
4
）+1]
由已知x∈(
π
8
，
3π
4
)，f（x）的值域為（0，
1+
2
2
）
（2）∵f(x)=(1+
1
tanx
)sin2x+msin(x+
π
4
)sin(x-
π
4
)
=sin2x+sinxcosx+
m(cos
π
2
-cos2x)
2

=
1-cos2x
2
+
sin2x
2
-
mcos2x
2

=
1
2
[sin2x-（1+m）cos2x]+
1
2

∵f(α)=
6
5
，
∴f（α）=
1
2
[sin2α-（1+m）cos2α]+
1
2
=
6
5
  ①
當tanα=2，得：sin2a=
2sinαcosα
sin2α+cos2α
=
2tanα
1+tan2α
=
4
5
，cos2α=-
3
5

代入①式，解得m=-
7
5
．
點評：考查三角函數的化簡、三角函數的圖象和性質、已知三角函數值求值問題．依托三角函數化簡，考查函數值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數變換，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數．則實數a的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實數a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調性．

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同步練習冊答案
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