Question

正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=    cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為    cm²．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，當(dāng)AM⊥MN時(shí)，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．
解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C
∴△ABM∽△MCN，則，即，
解得CN==x（1-x），
∴S_{四邊形ABCN}=×1×[1+x（1-x）]=-x²+x+，
∵-＜0，
∴當(dāng)x=-=cm時(shí)，S_{四邊形ABCN}最大，最大值是-×（）²+×+=cm²．
故答案是：，．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式．