Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P，其質量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2 C。將彈簧拉至水平后，以初速度v₀=20 m/s豎直向下射出小球P，小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小v=15 m/s。若O、O₁相距R=1.5 m，小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1 T的勻強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。

（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角）。

Answer 1

分析：帶電物體在復合場中的運動，動量守恒定律的應用，功能關系，圓周運動。

解：（1）設彈簧的彈力做功為W，有：

①

代入數據，得：W=-2.05 J。②

說明：①②式各2分。

（2）由題給條件知，N碰后做平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有：mv=±mv₁+MV③

而：④

若P、N碰后速度同向時，計算可得V＜v₁，這種碰撞不能實現。P、N碰后瞬時必為反向運動。有：⑤

P、N速度相同時，N經過的時間為t_n，P經過的時間為t下標P。設此時N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，有：⑥

gt_n=V₁sinθ=v₁sinθ⑦

代入數據，得：⑧

對小球P，其圓周運動的周期為T，有：⑨

經計算得：t_N＜T

P經過t_P時，對應的圓心角為α，有：⑩

當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ

聯立相關方程得

比較得，t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。

當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有：α₂=π-θ

同上得：

比較得，t_n≠t_P2，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。

說明：③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分。

（3）當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，

再聯立④⑦⑨⑩解得：

考慮圓周運動的周期性，有：（n=0，1，2，…）

當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，

同理得：

考慮圓周運動的周期性，有：（n=0，1，2，…）。

（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）

說明：式各1分。