Question

某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如右圖所示。用完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3…….N，球的質量依次遞減，每個球的質量與其相鄰左球質量之比為k(k＜1)。將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機械能損失的正碰。(不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s²)

（1）設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n，求n+1號球碰撞后的速度。

（2）若N=5，在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16h（16h小于繩長），問k值為多少？

（3）在第（2）問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

解析：（1）設n號球質量為m_n，n+1號球質量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v _n′、v_n+1′，取水平向右為正方向，據題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0，且

m_n+1=km_n      （1分）

根據動量守恒定律，有

m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′        ① （1分）

根據機械能守恒定律，有

m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²           ②   （1分）

由①②得

v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)    （1分）

（2）設1號球擺至最低點時的速度為v₁，由機械能守恒定律有

m₁gh=m₁v₁²       ④   （1分）

解得

v₁=    ⑤  （1分）

同理可求5號球碰后瞬間的速度

v₅=  ⑥（1分）

設n+1號球與n+2號球碰前的速度為v_n+1

據題意有v_n+1=v _n+1′

v_n+1=ⁿv₁       ⑦      （1分）

N=n+1=5時，

v₅=（）⁴v₁   ⑧     （1分）

由⑤⑥⑧三式得

k=-1≈0.414(k=--1舍去)  ⑨  （1分）

（3）設繩長為l，每個球在最低點時，細繩對球的拉力為F，由牛頓第二定律有

F-m_ng=m_n    ⑩   

則

F=m_ng+m_n 或 F= m_ng+E_kn  （2分）

式中E_kn為n號球在最低點的動能

由題意可知1號球的重力最大，又由機械能守恒定律可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據式可判斷在1號球碰撞前瞬間懸掛1號球細繩的張力最大，（1分）

故懸掛1號球的繩最容易斷。   （2分）

 （本問只定性說明未列出表達式扣2分，無說明只給出結果的扣3分）