Question

19．質譜儀是用來測定帶電粒子質量和分析同位素的重要工具，如圖所示，電容器兩極板相距為d，兩板間電壓為U，極板間勻強磁場的磁感應強度為B₁，方向垂直紙面向外．一束電荷電量相同、質量不同的帶正電的粒子，沿電容器的中線平行于極板射入電容器，沿直線勻速穿過電容器后進入另一磁感應強度為B₂的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外．結果分別打在感光片上的a、b兩點，設a、b兩點之間距離為△x，粒子所帶電荷量為q，且不計重力，求：
（1）粒子進入磁場B₂時的速度v的大小；試比較打在a、b兩點的粒子的質量大小關系，并計算出質量之差△m是多少；
（2）試比較這兩種帶電粒子在磁場B₂中運動時間的大小關系，時間之差△t是多少；
（3）若已知打在b點的粒子質量為m，要使打在b點的粒子打到a點，在其它條件不變的情況下，應如何改變電容器兩板間電壓，電壓之差△U是多少？

Answer 1

分析 （1）根據粒子做勻速直線運動，可判斷粒子的電場力和洛倫茲力相等，即可得知粒子的速度．帶電粒子在勻強磁場B₂中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系即可求出兩點的粒子的質量之差△m．
（2）粒子在磁場B₂中做勻速圓周運動的速度相等，應用t=$\frac{s}{v}$求出粒子的運動時間，然后求出時間之差．
（3）根據題意判斷粒子軌道半徑如何變化，求出軌道半徑的變化量，然后求出電壓的變化量．

解答 解：（1）兩極板間電場強度：E=$\frac{U}p9vv5xb5$，
粒子所受到電場力和洛倫茲力是平衡力，即為：qvB₁=qE，
所以電場與磁場的關系為：v=$\frac{E}{{B}_{1}}$=$\frac{U}{d{B}_{1}}$，
帶電粒子在勻強磁場B₂中做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：m=$\frac{q{B}_{2}r}{v}$，
打在a處的粒子的質量：m₁=$\frac{q{B}_{2}{r}_{1}}{v}$，
打在b處的粒子的質量：m₂=$\frac{q{B}_{2}{r}_{2}}{v}$，
由題意可知：△x=2r₁-2r₂，
解得：△m=m₁-m₂=$\frac{q{B}_{1}{B}_{2}d△x}{2U}$；
（2）打在a處的粒子運動弧長大于打在b處粒子的運動弧長，
由于打在兩處兩粒子的速度大小相等，由t=$\frac{s}{v}$可知，打在a處的粒子比打在b處的粒子運動時間長，
粒子在磁場中運動的時間：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{πr}{v}$，
兩粒子的運動時間之窗：△t=t₁-t₂=$\frac{π{r}_{1}}{v}$-$\frac{π{r}_{2}}{v}$=$\frac{πd{B}_{2}△x}{2U}$；
（3）打在b點的粒子軌道半徑：r₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
要使打在b點的粒子打在a點粒子在磁場B₂中軌道半徑：r₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
由題意可知：△x=2r₁-2r₂=$\frac{2m△v}{q{B}_{2}}$=$\frac{2m△U}{q{B}_{1}{B}_{2}d}$，
解得：△U=$\frac{qd{B}_{1}{B}_{2}△x}{2m}$，要使打在b點的粒子達到a點，
在其他條件不變的情況下，應增大電熱器兩極板間的電壓；
答：（1）粒子進入磁場B₂時的速度v的大小為$\frac{U}{d{B}_{1}}$，打在a點的粒子比打在b點的粒子的質量大，質量之差△m是$\frac{q{B}_{1}{B}_{2}d△x}{2U}$；
（2）打在a處的粒子比打在b處的粒子運動時間長，時間之差△t是$\frac{πd{B}_{2}△x}{2U}$；
（3）應增大電熱器兩極板間的電壓，電壓之差△U是：$\frac{qd{B}_{1}{B}_{2}△x}{2m}$．

點評 本題考查了粒子在速度選擇器與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵；在速度選擇器中，粒子的受力特點：同時受到方向相反的電場力和洛倫茲力作用；粒子能勻速通過選擇器的條件：電場力和洛倫茲力平衡，只有速度為$\frac{E}{B}$的粒子才能沿直線勻速通過選擇器．