Question

滑雪運動中當滑雪板壓在雪地時會把雪內的空氣逼出來，在滑雪板與雪地間形成一個暫時的“氣墊”，從而大大減小雪地對滑雪板的摩擦．然而當滑雪板相對雪地速度較小時，與雪地接觸時間超過某一值就會陷下去，使得它們間的摩擦力增大．假設滑雪者的速度超過4m/s時，滑雪板與雪地間的動摩擦因數就會由μ₁=0.25變為μ₂=0.125．一滑雪者從傾角θ=37°的坡頂A處由靜止開始自由下滑，滑至坡底B（B處為一光滑小圓弧）后又滑上一段水平雪地，最后停在C處，如圖所示，不計空氣阻力，坡長L=26m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發生變化所經歷的時間；
（2）滑雪者到達B處的速度；
（3）滑雪者在水平雪地上運動的最大距離．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v₁=4m/s期間的加速度，再根據速度時間公式求出運動的時間．
（2）再根據牛頓第二定律求出速度大于4m/s時的加速度，球心速度為4m/s之前的位移，從而得出加速度變化后的位移，根據勻變速直線運動的速度位移公式求出滑雪者到達B處的速度．
（3）根據動能定理分別求出在水平面上速度減為4m/s之前的位移和速度由4m/s減小到零的位移，兩個位移之和為滑行的最大距離．

解答：解：（1）設滑雪者質量為m，滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v₁=4m/s期間，由牛頓第二定律有：mgsin37°-μ₁mgcos37°=ma₁
解得：a1=4m/s2
故由靜止開始到動摩擦因數發生變化所經歷的時間：t=

v1

a1

=1s
（2）則根據牛頓定律和運動學公式有：x1=

1

2

a1t2
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂
x₂=L-x₁

v

2 B

-

v

2 1

=2a2x2
代入數據解得：v_B=16m/s
（3）設滑雪者速度由v_B=16m/s減速到v₁=4m/s期間運動的位移為x₃，速度由v₁=4m/s減速到零期間運動的位移為x₄，則由動能定理有：-μ2mgx3=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

-μ1mgx4=0-

1

2

m

v

2 1

所以滑雪者在水平雪地上運動的最大距離為：x=x₃+x₄=99.2m．
答：（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發生變化所經歷的時間為1s．
（2）滑雪者到達B處的速度為16m/s．
（3）滑雪者在水平雪地上運動的最大距離為99.2m．

點評：本題綜合運用了牛頓第二定律、動能定理等規律，關鍵理清滑雪者的運動過程，正確地受力分析，運用牛頓定律或動能定理解題．