Question

A．如圖所示，光滑的半圓槽內，A球從高h處沿槽自由滑下，與靜止在槽底的B球相碰，若碰撞后A球和B球到達的最大高度均為h/9，A球、B球的質量之比為

 

或

 

．
B．新發現的雙子星系統“開普勒-47”有一對互相圍繞運行的恒星，運行周期為T，其中一顆大恒星的質量為M，另一顆小恒星只有大恒星質量的三分之一．已知引力常量為G．大、小兩顆恒星的轉動半徑之比為

 

，兩顆恒星相距

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據機械能守恒定律求出碰撞前A的速度和碰撞后AB的速度大小，注意A可能反向運動，根據動量守恒定律即可求解；
（2）這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的周期，結合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答：解：（1）碰撞前A球的速度v0=

2gh

碰撞后A球和B球到達的最大高度均為

h

9

，
根據機械能守恒定律得：

1

2

mv2=mg?

h

9

解得：v=

2gh

3

若碰撞后A以速度v方向，B以速度v向右運動，則有：
m_Av₀=-m_Av+m_Bv
解得：

mA

mB

=

1

4

若碰撞后AB一起以速度v向右運動，則有：
m_Av₀=（m_A+m_B）v
解得：

mA

mB

=

1

2

（2）根據萬有引力提供向心力得：
G

M? 1 3 M

r2

=M

4π2r1

T2

=

1

3

M

4π2r2

T2

r=r₁+r₂
解得：

r1

r2

=

1

3

r=

3	GMT2 3π2

故答案為：（1）1：4；1：2；（2）1：3；

3	GMT2 3π2

點評：本題主要考查了動量守恒定律及萬有引力提供向心力公式的直接應用，雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：相同的角速度和周期．