Question

一根細(xì)桿彎制成如圖所示的軌道，固定在豎直面內(nèi)，BD為光滑的半圓形軌道，軌道半徑R=1m，AB為粗糙水平軌道，A與B相距L=10m，一質(zhì)量m=0.2kg的小環(huán)套在水平軌道上的A點(diǎn)，與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1．現(xiàn)用一水平恒力F向右拉小環(huán)，已知F=2N，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)C時(shí)撤去該力（C點(diǎn)位于AB之間），設(shè)C點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為x．在圓軌道的最高點(diǎn)D處安裝一力傳感器，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)傳感器就會(huì)顯示環(huán)對(duì)軌道彈力大小的讀數(shù)F_N，力傳感器所能承受的最大作用力大小為18N，g取10m/s²．
（1）當(dāng)x=4.2m時(shí)，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓軌道上的B點(diǎn)時(shí)速度是多大？
（2）要使小環(huán)能夠通過圓軌道的最高點(diǎn)D且保證力傳感器安全，求x的范圍；
（3）在滿足（2）問的情況下，在坐標(biāo)系中作出力傳感器的讀數(shù)F_N與x的關(guān)系圖象（不要求寫出作圖過程）．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理可以求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出小球在D點(diǎn)的最大與最小速度，然后由動(dòng)能定理求出x的最大與最小距離，然后確定x的范圍．
（3）根據(jù)（2）的計(jì)算結(jié)果，作出F_N-x圖象．

解答：解：（1）從A到B，由動(dòng)能定理得：
Fx-μmgL=

1

2

mv_B²-0，解得v_B=8m/s；
（2）當(dāng)小環(huán)恰能到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，
設(shè)AC間的最小距離為x₁，此時(shí)v_D=0，
從A到D過程，由動(dòng)能定理得：
Fx₁-μmgL-mg?2R=0-0，解得x₁=3m/s；
當(dāng)小環(huán)到達(dá)D點(diǎn)且受到軌道彈力F_N=18N時(shí)，
設(shè)AC間最大距離為x₂，此時(shí)F_N，
由牛頓第二定律得：F_N+mg=m

v 2 D最大

R

  ①，
從A到D過程中，由動(dòng)能定理得：
Fx₂-μmgL-mg?2R=

1

2

mv_D²-0  ②，
由①②解得x2=8m；
所以x的范圍為：3m≤x≤8m；
（3）力與xd的關(guān)系圖象如圖所示．
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為8m/s；
（2）x的范圍為：3m≤x≤8m；
（3）F_N與x的關(guān)系圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：小球在豎直圓環(huán)形軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高的速度應(yīng)大于等于0；應(yīng)用動(dòng)能定理與牛頓第二定律即可正確解題．