Question

一根細桿彎制成如圖所示的軌道，固定在豎直面內，BD為光滑的半圓形軌道，軌道半徑R=1m，AB為粗糙水平軌道，A與B相距L=10m，一質量m=0.2kg的小環套在水平軌道上的A點，與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.1．現用一水平恒力F向右拉小環，已知F=2N，當小環運動到某點C時撤去該力（C點位于AB之間），設C點到A點的距離為x．在圓軌道的最高點D處安裝一力傳感器，當小環運動到D點時傳感器就會顯示環對軌道彈力大小的讀數F_N，力傳感器所能承受的最大作用力大小為18N，g取10m/s²．
（1）當x=4.2m時，小環運動到圓軌道上的B點時速度是多大？
（2）要使小環能夠通過圓軌道的最高點D且保證力傳感器安全，求x的范圍；
（3）在滿足（2）問的情況下，在坐標系中作出力傳感器的讀數F_N與x的關系圖象（不要求寫出作圖過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由動能定理可以求出小球到達B點時的速度．
（2）小球在圓軌道上做圓周運動，由牛頓第二定律求出小球在D點的最大與最小速度，然后由動能定理求出x的最大與最小距離，然后確定x的范圍．
（3）根據（2）的計算結果，作出F_N-x圖象．
解答：解：（1）從A到B，由動能定理得：
Fx-μmgL=mv_B²-0，解得v_B=8m/s；
（2）當小環恰能到達D點時，
設AC間的最小距離為x₁，此時v_D=0，
從A到D過程，由動能定理得：
Fx₁-μmgL-mg?2R=0-0，解得x₁=3m/s；
當小環到達D點且受到軌道彈力F_N=18N時，
設AC間最大距離為x₂，此時F_N，
由牛頓第二定律得：F_N+mg=m  ①，
從A到D過程中，由動能定理得：
Fx₂-μmgL-mg?2R=mv_D²-0  ②，
由①②解得x2=8m；
所以x的范圍為：3m≤x≤8m；
（3）力與xd的關系圖象如圖所示．
答：（1）小球到達B點時的速度為8m/s；
（2）x的范圍為：3m≤x≤8m；
（3）F_N與x的關系圖象如圖所示．
點評：小球在豎直圓環形軌道上做圓周運動，小球在最高的速度應大于等于0；應用動能定理與牛頓第二定律即可正確解題．