Question

現根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．萬有引力常量為G．求：
（1）試計算該雙星系統的運動周期T．
（2）若實驗上觀測到運動周期為T’，且Tn：T=1：

N

(N＞1)，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的物質--暗物質，作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析：（1）雙星系統圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期T．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，雙星系統就由相互間的萬有引力的暗物質的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質的質量，再求解其密度．

解答：解：（1）由萬有引力提供向心力有：

GM2

L2

=M?

L

2

?

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）設暗物的密度為ρ，質量為m，則
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ?

L3

6

再由萬有引力提供向心力有：

GM2

L2

+

GMm

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

Tn2

 ②
由

①

②

得：

M

M+4m

=(

Tn

T

)2=

1

N

又m=πρ?

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：
（1）該雙星系統的運動周期T=πL

2L GM

．
（2）該星系間這種暗物質的密度為ρ=

3(N-1)M

2πL3

．

點評：對于雙星問題和暗物質問題，關鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究．