Question

現根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．萬有引力常量為G．求：
（1）試計算該雙星系統的運動周期T；
（2）若實驗上觀測到運動周期為T′，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著密度為ρ的暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，并假定暗物質與星體間的相互作用同樣遵守萬有引力定律．試根據這一模型計算該雙星系統的運動周期T′．

Answer 1

分析：（1）雙星系統圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期T．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，雙星系統就由相互間的萬有引力的暗物質的引力的合力提供向心力，已知密度求出暗物質的質量，再求解周期．

解答：解：（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設運動的速率為v，得：
M

v2

L 2

=G

M2

L2

    ①
T=

2π L 2

v

    ②
由①、②式得：T =πL

2L GM

（2）暗物質的質量為ρ?

4

3

πR3
根據合力提供向心力G

M2

L2

+

GMρ 4 3 π( L 2 )3

( L 2 )2

=M

L

2

(

2π

T′

)2 
解得T′=πL

6L G(3M+2πρL3)

 
答：（1）計算該雙星系統的運動周期T為πL

2L GM

；
（2）該雙星系統的運動周期T′為πL

6L G(3M+2πρL3)

．

點評：對于雙星問題和暗物質問題，關鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究．