Question

牛頓曾經認為：熟了的蘋果離開蘋果樹后不一定做自由落體運動，在地球赤道上的蘋果樹，當其高度為某一個值時，蘋果脫離蘋果樹后可以相對蘋果樹靜止而不下落．經過一番運算后他終于給出了答案．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球的自轉周期為T，則：
（1）牛頓的“蘋果樹”的高度為______；
（2）牛頓的“蘋果樹”的“蘋果”脫離果樹后運動的線速度為______．（用題目中的已知量表示）

Answer 1

（1）離樹的蘋果相當于地球同步衛星，設蘋果質量為m，離地高度為h，根據萬有引力提供向心力
G

Mm

(R+h)2

=m（

2π

T

）²（R+h）①
在地球表面，質量為m的物體重力約等于萬有引力，
mg=G

Mm

R2

，所以有g=G

M

R2

   ②
由以上兩式可得，h=

gT2

4π2

-R
（2）蘋果做勻速圓周運動，線速度可由定義式得出v=

2π(R+h)

T

故答案為（1）

gT2

4π2

-R；（2）v=

2π(R+h)

T