Question

牛頓曾經認為：熟了的蘋果離開蘋果樹后不一定做自由落體運動，在地球赤道上的蘋果樹，當其高度為某一個值時，蘋果脫離蘋果樹后可以相對蘋果樹靜止而不下落．經過一番運算后他終于給出了答案．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球的自轉周期為T，則：
（1）牛頓的“蘋果樹”的高度為

gT2

4π2

-R

；
（2）牛頓的“蘋果樹”的“蘋果”脫離果樹后運動的線速度為

2π(R+h)

T

．（用題目中的已知量表示）

Answer 1

分析：要想蘋果脫離蘋果樹后仍然相對于樹靜止，則蘋果將做勻速圓周運動，其周期與地球自轉周期相同，蘋果相當于地球同步衛星．此時，地球對蘋果的萬有引力提供其向心力．本題中未提供萬有引力常量和地球的質量，需用地球表面的重力加速度來表示．

解答：解：（1）離樹的蘋果相當于地球同步衛星，設蘋果質量為m，離地高度為h，根據萬有引力提供向心力
G

Mm

(R+h)2

=m（

2π

T

）²（R+h）①
在地球表面，質量為m的物體重力約等于萬有引力，
mg=G

Mm

R2

，所以有g=G

M

R2

   ②
由以上兩式可得，h=

gT2

4π2

-R
（2）蘋果做勻速圓周運動，線速度可由定義式得出v=

2π(R+h)

T

故答案為（1）

gT2

4π2

-R；（2）v=

2π(R+h)

T

點評：本題應結合具體情境，建立物理模型，利用圓周運動知識，分析向心力的來源，可迎刃而解．