Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率和運行周期T。

（1）可見星A所受暗星B的引力F_A 可等效為位于 O點處質量為m的星體（視為質點）

對它的引力，設 A和 B的質量分別為 m₁、m₂，試求 m （用 m₁、m₂ 表示）；

（2）求暗星 B的質量 m₂ 與可見星 A的速率 v、運行周期 T和質量m₁之間的關系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v=2.7×10 ⁵ m/s，運行周期T=4.7π×10 ⁴ s，質量m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

（G=6.67×10^－11 N?m ² /kg² ，m_s=2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解：（1）設 A、B的圓軌道半徑分別為 1r 、 2r ，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同。設其為w。由牛頓運動定律，有

設A、B之間的距離為又，①

由萬有引力定律，有

將①代入得

令比較可得

（2）由牛頓第二定律，有又可見星A的軌道半徑

由②③④式解得

（3）將代入⑤式，得

代入數據得

將其代入⑥式得⑦

可見的值隨n的增大而增大，試令，得⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量必大于，由此得出結論：暗星B可能是黑洞。