Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質點，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖5-4-3所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.

圖5-4-3

(1)可見星A所受暗星B的引力F_a可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂，試求m′(用m₁、m₂表示);

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式；

(3)恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×10⁵ m/s，運行周期T=4.7π×10⁴ s，質量m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

(G=6.67×10^-11N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg)

Answer 1

解析：設A、B圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω.由牛頓運動定律，有

F_A=m₁ω²r₁,F_B=m₂ω²r₂,F_A=F_B

設A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，由上述各式得

r=r₁                                                                ①

由萬有引力定律，有F_A=G

將①代入得

F_A=G

令F_A=G

比較可得m′=.                                                ②

(2)由牛頓第二定律，有

G=m₁                                                              ③

又可見星A的軌道半徑r₁=                                                 ④

由②③④式解得=.                                              ⑤

(3)將m₁=6m_s代入⑤式，得

=

代入數據得

=3.5m₅                                                            ⑥

設m₂=nm_s(n＞0)，將其代入⑥式，得

=m_s=3.5m下標_s                        ⑦

可見，分的值隨n的增大而增大，試令n=2，得

m_s=0.125m下標s＜3.5m_s                             ⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量m₂必大于2m下標s，由此得出結論：暗星B有可能是黑洞.

答案：(1)m′=

(2) =

(3)暗星B有可能是黑洞.