Question

2008 年4月25日中國成功發射了首顆數據中繼衛星“天鏈一號”，衛星準確定點于地球同步軌道．中繼衛星享有“衛星的衛星”之譽，可為衛星、飛船等航天器提供數據中繼和測控服務，極大地提高了各類衛星使用效益和應急能力．現用“天鏈一號”衛星對某始終飛行在地球赤道上空的“資源衛星”實施數據中繼和測控服務．設地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，“資源衛星”和“天鏈一號”衛星繞地球飛行時距地面的高度分別為h₁和h₂（h₁＜h₂）．求：
（1）該“資源衛星”繞地球運行的周期；
（2）忽略由于“天鏈一號”衛星的運行對測控范圍的影響，試估算：在“資源衛星”運行一個周期的時間內“天鏈一號”衛星對它測控的時間．

Answer 1

分析：1、地球對“資源衛星”的萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力m0g=G

Mm0

R2

，可解得該“資源衛星”繞地球運行的周期T₁．
2、畫出“天鏈一號”衛星與“資源衛星”的空間關系圖型，根據空間的位置關系結合幾何知識求解“天鏈一號”衛星測控的角度最大范圍θ，所以測控時間t=

θ

2π

T1，代入數據計算即可．

解答：解：（1）對“資源衛星”繞地球運動，地球對它的萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)　　   
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力m0g=G

Mm0

R2

由以上二式解得：T₁=

2π

R

(R+h1)3 g

（2）設A為“天鏈一號”衛星，過A作地球的切線AB和AC，則∠COB所對應的圓弧（大）即為測控范圍．由O作垂線OE、OD如圖所示，則由幾何知識有：
cosα=

R

R+h1

   即：α=arccos

R

R+h1

       
cosβ=

R

R+h2

即：β=arccos

R

R+h2

 　　　
所以∠COB=2（α+β）=2（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）　　　
所以測控時間為  t=

∠COB

2π

T1
解得t=

2

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）
答：（1）該“資源衛星”繞地球運行的周期為

2π

R

(R+h1)3 g

；
（2）在“資源衛星”運行一個周期的時間內“天鏈一號”衛星對它測控的時間為

2π

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）．

點評：本題關鍵是能夠畫出“天鏈一號”衛星與“資源衛星”的空間關系圖型，根據空間的位置關系結合幾何知識求解測控時間，正確作圖是解題關鍵．