Question

（2005?南通二模）如圖所示，勁度系數為k的輕彈簧，左端連著絕緣介質小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上．整個裝置處在場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中．現有一質量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球為S處自由釋放，并與B球發生碰撞．碰撞中無機械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質量M=3m，彈簧振子的周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質點）．

（1）求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂．
（2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數k的可能取值．
（3）若A球與B球每次都在B球的初始位置迎面相碰．請你以A球自由釋放的瞬間為計時起點，速度方向向右為正方向，求作A球的v-t圖線（要求至少畫出小球A與B球發生第三次碰撞前的圖線，必須寫出畫圖的依據）．

Answer 1

分析：（1）兩球發生彈性碰撞時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，記住碰后兩球速度的表達式；
（2）A球碰后先向左減速再反向加速兩次時間相等，B球從碰后再回到原位置的時間具有周期性，二者相等即可求解．
（3）A球與B球的第二次碰撞過程中機械能守恒，動量守恒，根據機械能守恒定律，動量守恒定律列式求解碰后速度，尋找軌跡，從而畫出圖象．

解答：解：（1）設A球與B球碰撞前瞬間的速度為v₀，
由動能定理得，qES=

1

2

mv02                         
解得：v0=

2qES m

                          
碰撞過程中動量守恒   mv₀=mv₁+Mv₂                             
機械能無損失，有

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

Mv22                            
解得，v1=-

1

2

v₀=-

1

2

2qES m

負號表示方向向左  
v₁=v₀（舍）
v2=

1

2

v₀=

1

2

2qES m

，方向向右                v₂=0（舍）
（2）由（1）可知，碰撞后A球向左減速，B球以初速

1

2

v₀向右做簡諧運動，要使m與M第二次迎面碰撞仍發生在原位置，則必有A球重新回到O處所用的時間t恰好等于B球的（n+

1

2

）T
      a=

Eq

m

                        
則t=2

v1

a

=nT+

T

2

（n=0、1、2、3 …）   
 t=2π

M k

                         
解得：k=

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …） 
（3）A球與B球的第二次前速度分別為-v₁、-v₂，碰撞后速度分別為v′₁和v′₂，應滿足
碰撞過程中動量守恒-mv₁-Mv₂=mv′₁+Mv′₂                        
機械能無損失，有

1

2

mv12+

1

2

Mv22=

1

2

mv′12+

1

2

Mv′22               
解得：v′₁=2v₁=-v₀=-

2qES m

方向向左，v′₂=0                      
可見，當A球再次回到O處與B球發生第三次碰撞時，第三次碰撞是第一次碰撞的重復，此后過程將周而復始地進行，A球的v-t圖線如圖所示，


其中v0=

2qES m

，t′=

v0

a

=

2mS qE

答：（1）A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度大小為

1

2

2qES m

，方向向左，和B球的速度大小為

1

2

2qES m

方向向右；
   （2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，勁度系數k的可能取值為

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …）．
   （3）圖象如圖所示．

點評：本題是綜合性很強的題目，運用到動能定理、動量守恒、機械能守恒、運動學公式、牛頓定律，難點是抓住簡諧運動的周期性，得到A球運動時間的通項，即可求出K的可能值．