Question

3．如圖所示，xOy為一豎直平面內的直角坐標系，y軸沿豎直方向，OA為豎直平面內的光滑拋物線軌道，其方程為：y=$\frac{1}{5}$x² （式中x、y的單位均為國際單位 m）．將穿在此軌道上的光滑小環從O點由靜止釋放后，其沿軌道下滑，P是拋物線軌道上的一點．已知O、P兩點的連線與豎直方向的夾角為45°，取g=10m/s²，下列說法正確的是（　　）

• A． 小環沿軌道下滑的過程中機械能增大
• B． 小環通過P點時的速度大小為10 m/s
• C． 小環從O點到P點的平均速度大小為10 m/s
• D． 小環到達P點時，其速度方向與y軸正向的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，結合方程y=$\frac{1}{5}$x²，即可求得P點瞬時速度；根據平均速度等于位移與時間的比值，及速度方向即為某點的切線方向，從而即可求解．

解答 解：A、小球向下運動的過程中只有重力做功，機械能守恒．故A錯誤；
B、由題y=$\frac{1}{5}$x²易得P點坐標值x=y=5 m，則v=$\sqrt{2gy}$=$\sqrt{2×10×5}$=10 m/s，故B正確；
C、小環做變加速運動，沿豎直方向的加速度小于g，所以運動的時間一定大于1s；為從O點到P點的位移：$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$m
所以平均速度$\overline{v}=\frac{s}{t}$一定小于10 m/s，故C錯誤；
D、方程為：y=$\frac{1}{5}$x² 為拋物線方程，其P點的切線方向與x軸之間的夾角滿足：$tanθ=2•\frac{x}{y}=2$
所以P點的切線方向與y軸之間的夾角滿足：$tanβ=\frac{1}{tanθ}=\frac{1}{2}$
根據曲線運動的速度方向沿曲線的切線方向可知，小環到達P點時，其速度方向與y軸正向的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$．故D正確．
故選：BD

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，結合運動學公式靈活求解．