Question

11．羚羊從靜止開始奔跑，經過50米的距離能加速達到最大速度V₁=25m/s，并能維持一段較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經過60米的距離能加速達到最大速度V₂=30m/s，由于無氧呼吸的限制以后只能維持這個速度4.0s，所以獵豹在攻擊前總是偷偷地盡量爬近獵物．設獵豹距離羚x時開始攻擊，羚羊則在獵豹攻擊開始后1.0s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑（當然羚羊不會這么笨的）．求：
（1）獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，x值應在什么范圍？
（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應在什么范圍？
（3）就本題所述情景，自己再提出一個類似（1）、（2）的問題或比較現實的問題，并作出解答．

Answer 1

分析 （1）根據勻變速直線運動的速度位移公式求出羚羊和獵豹加速過程的加速度，以及加速時間，根據獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊可知獵豹最大勻速時間為4.0s，根據獵豹和羚羊之間的位移關系列方程即可正確求解．
（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，只要獵豹運動時間小于其加速的最大時間即可，然后根據位移關系列方程即可正確求解．
（3）提出的問題：若已知獵豹達到最大速度后，減速時以加速度大小是2.5m/s²的勻減速直線運動，羚羊最終沒有被獵豹追上，x值應在什么范圍．
當獵豹的速度減小到跟羚羊的速度相等時，如果還沒追上羚羊，則最終不會追上了，然后根據位移關系列方程即可正確求解．

解答 解：（1）羚羊的加速度${a}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{s}_{1}}=\frac{625}{2×50}=6.25m/{s}^{2}$，羚羊加速的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{25}{6.25}s=4s$，
獵豹的加速度${a}_{2}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{s}_{2}}=\frac{900}{120}=7.5m/{s}^{2}$，獵豹加速的時間${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{30}{7.5}s=4s$，
顯然由t₁=t₂可知：當獵豹進入勻速運動過程1s后，羚羊將做勻速運動．
當獵豹勻速運動4.0s時，根據位移關系有：
s₂+v₂t≥s₁+x+v₁（t-1）
解得：x≤55m
獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，x值應滿足：x≤55m．
（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，獵豹運動的時間t＜t₂=4s
又因t₁=t₂，
則根據位移關系有：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}（t-1）^{2}+x$，
解得：x=31.875m．
故獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應滿足：x≤31.875m．
（3）提出的問題：若已知獵豹達到最大速度后，以加速度大小是2.5m/s²的勻減速直線運動，羚羊最終沒有被獵豹追上，x值應在什么范圍．
當獵豹的速度減小到跟羚羊的速度相等時，如果還沒追上羚羊，則最終不會追上了．這個過程
獵豹減速的時間為t=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}=\frac{30-25}{2.5}s=2s$，
減速階段，獵豹比羚羊多跑的距離為△x=（$\frac{30+25}{2}$×2-25×2）m=5m
根據題意有：x≥55+△x=60m．
所以x的范圍為x≥60m．
現實的問題：為什么獵豹一般要選擇老弱病殘的羚羊進行攻擊？
老弱病殘的羚羊反應慢，并且奔跑的加速度和最大速度都較小，這樣就容易追捕到．
答：（1）獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，x值范圍為x≤55m；
（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值范圍為x≤31.875m．
（3）提出的問題：若已知獵豹以加速度大小是2.5m/s²的勻減速直線運動，羚羊最終沒有被獵豹追上，x值應在什么范圍．（x≥60m）
現實的問題：為什么獵豹一般要選擇老弱病殘的羚羊進行攻擊？
老弱病殘的羚羊反應慢，并且奔跑的加速度和最大速度都較小，這樣就容易追捕到．

點評 對于追及問題一是要熟練應用運動學公式，二是明確追者和被追者之間的位移、時間關系，根據位移、時間關系列方程即可正確求解．