Question

8．如圖所示，兩足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面的夾角為α．勻強磁場分布在整個導軌所在區域．磁感應強度為B、方向垂直于導軌平面向上，質量為m、長為L 的金屬桿垂直于MN．PQ放置在導軌上．且始終與導軌接觸良好．兩導軌的上端通過導線連接由定值電阻和電容器組成的電路，電容器的電容為C．現閉合開關S并將金屬桿從ab位置由靜止釋放，已知桿向下運動距離為x到達cd位置的過程中，通過桿的電荷量為q₁，通過定值電阻的電荷量為q₂，且已知桿在到達cd前已達到最大速度，不計導軌、金屬桿及導線的電阻，重力加速度為g．
（1）電容器上極板帶什么電？電荷量是多少？
（2）桿運動的最大速度和定值電阻的阻值各是多少？
（3）小羽同學從資料上查閱到電容器的儲能公式為E_c=$\frac{1}{2}$CU²（U為電容器兩板間的電壓），若不計回路向外輻射的電磁能．求桿從ad到cd的過程中回路產生的總焦耳熱．（結果用m、g、B、L、C、α、x、q₁、q₂表示）

Answer 1

分析 （1）由右手定則可知，電勢Φ_a ＞Φ_b，故上極板帶正電．由電路結構以及電荷守恒定律可知電荷量．
（2）桿最后做勻速運動，可以求出電流I，結合根據歐姆定律得：I=$\frac{U}{R}$ 以及U=BLv 可以求出v，從而可以求出R．
（3）據能的轉化與守恒定律可知：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$CU²+Q將v以及U代入可以求出Q．

解答 解：（1）金屬桿在重力、支持力、安培力作用下，先做加速度減小的加速運動，達到最大速度v后做勻速運動，此時電路處于穩定狀態
由右手定則可知，電勢Φ_a＞Φ_b，故上極板帶正電，由電路結構以及電荷守恒定律可知q_C=q₁-q₂
（2）電容器電荷量q_c=CU
由法拉第電磁感應定律可知U=BLv
解得：$（\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}）$桿勻速運動時由平衡條件可知：mgsinα=BIL
根據歐姆定律得：I=$\frac{U}{R}$  
根據右手定則可知：U=BLv  v=$\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}$
化簡R=$\frac{U}{I}$=$\frac{BLv}{I}$$\frac{BL\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}}{\frac{mgsinα}{BL}}$=$\frac{BL（{q}_{1}-{q}_{2}）}{mgCsinα}$
（3）根據能的轉化與守恒定律可知：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$CU²+Q
解得：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$CU²=mgxsinα-$\frac{1}{2}$m$（\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{BLC}）$²-$\frac{1}{2}$C$（\frac{{q}_{1}-{q}_{2}}{C}）^{2}$
化簡整理得：Q=mgxsinα-$\frac{（{q}_{1}-{q}_{2}）^{2}}{2C}$（$\frac{m}{{B}^{2}{L}^{2}C}+1$）

點評 此題中電磁感應與力學問題相結合，先根據右手定則判斷導體棒切割磁感線產生的感應電動勢，結合導體棒的運動情況可以求出安培力，再根據歐姆定律就可以求出R