Question

如圖所示為一小型交變電流發電機的工作原理圖，兩磁極間的磁場可看成勻強磁場，磁 感應強度為B，矩形線圈abcd以恒定角速度ω繞垂直于磁場方向的固定軸00’逆時針方 向轉動，矩形abcd關于00'對稱，已知矩形線圈共有N匝，邊長為L₁，bc邊長為L₂，線 圈電阻為r，外接電阻為R．
（1）在線圈位于如圖所示的垂直于磁場方向的位置開始計時，規定由a→b（或c→d）方向 的感應電動勢為正，推導出線圈中感應電動勢e隨時間t變化的表達式．
（2）求交流電流表（內阻不計）的讀數．

Answer 1

分析：（1）先根據切割公式求解感應電動勢的最大值，然后求解出角頻率，最后得到表達式；
（2）先根據最大值與有效值關系得到電壓有效值，然后根據歐姆定律求解電流．

解答：解：（1）從中性面開始經時間t，線圈abcd轉至如圖所示位置時，θ=ωt．
此時對于線圈ab邊上每根導線切割磁感線產生的感應電動勢大小為
e₁=BL₁v_1x=BL₁v₁sinθ．
線圈ab邊上每根導線切割磁感線產生的感應電動勢大小為
e₂=BL₁v_2x=BL₁v₂sinθ．
其中v₁=v₂=ωL₂/2．
則每匝線圈產生的感應電動勢大小為
e_單=e₁+e₂=BL₁ L ₂ωsinωt．
 N匝線圈產生的總感應電動勢大小為e=Ne_單=N BL₁ L ₂ωsinωt．
因為此時感應電動勢為負方向，
所以e=-N BL₁ L ₂ωsinωt=NBL₁ L ₂ωsin（ωt+π）．

（2）電動勢最大值E_m=NBL₁ L ₂ω．有效值E=

2

2

E_m=

2

2

NBL₁ L ₂ω．．
根據閉合電路歐姆定律，電路中電流，即交流電流表的讀數
I=

E

R+r

=

2

2(R+r)

NBL₁ L ₂ω．
答：（1）線圈中感應電動勢e隨時間t變化的表達式為e=-N BL₁ L ₂ωsinωt=NBL₁ L ₂ωsin（ωt+π）；
（2）交流電流表（內阻不計）的讀數為

2

2(R+r)

NBL₁ L ₂ω．

點評：本題關鍵明確當線圈與磁場相平行時，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時產生的感應電動勢最大，求解出最大值后，再根據瞬時值公式列式求解．