Question

如圖所示，兩根輕彈簧的原長都是d，勁度系數都為k．由于質量為m的小球受重力作用，使系統處于實線所畫的平衡位置，此時彈簧從水平位置下垂的傾角為φ．試證：此系統在豎直方向所作的小幅度振動為簡諧振動，并求其固有的角頻率．
[可能用到的知識：若|θ|很小，則sin（θ₀+θ）≈sinθ₀，其中θ₀是已知一定角]．

Answer 1

分析：選擇小球為研究的對象，設小球在平衡位置處下垂的豎直距離為x₀，對小球進行受力分析，并結合胡克定律，導出小球的受力與小球在平衡位置處下垂的豎直距離為x₀之間的關系公式，若滿足：∑F=-2kx，即表示小球做簡諧振動．

解答：解：設小球在平衡位置處下垂的豎直距離為x₀，則此時每根彈簧的總長度為

x0

sinφ

，若以平衡位置處為原點O，向下方向為x軸正方向，
如圖所示，列出平衡方程（設平衡時每根彈簧彈力大小為F₀），
mg-2F₀sinφ=0
F0=k(

x0

sinφ

-d)，
從而得mg-2k(

x0

sinφ

-d)sinφ=0，
若小球從平衡位置在豎直方向（向下）微小位移x，彈簧與水平方向夾角φ
有微小改變量△φ，易知合力在豎直方向，∑F=mg-2k(

x+x0

sin(φ+△φ)

-d)sin(φ+△φ)，
利用提示及所得結果化簡得：∑F=-2kx，（負號表明合力方向與位移x的方向相反），所以此系統在豎直方向所作的小幅度振動為簡諧振動，其固有的角頻率為ω=

2k m

．
答：其固有的角頻率是

2k m

．

點評：該題屬于高中物理競賽類的題目，證明的關鍵是能夠得出小球的受力滿足方程：∑F=-2kx．證明的過程基本上是受力分析的過程，中間使用的數學公式略有難度．