Question

10．如圖，在豎直平面內固定一半徑為R的光滑細圓環，質量為m的小球套在細圓環，勁度系數k=$\frac{mg}{R}$的輕質彈簧一端固定在P點另一端與小球相連，P位于圓心O的正上方且距離d=$\frac{1}{2}$R，B與O在同一水平線上．已知該彈簧原長L₀＜＜R，彈簧的彈性勢能可表示為E=$\frac{1}{2}$kx²（x為形變量），重力加速度為g，當小球在圓環頂點A從靜止開始經過B下滑到最低點C，求：
（1）小球經過C點時的速度v_c；
（2）小球經過C點對圓環的作用力大小及方向；
（3）為使小球經過C點時對圓環的作用力為零，P、O間的距離d應為何值．

Answer 1

分析 （1）根據小球與彈簧組成的系統機械能守恒，求小球經過C點時的速度v_c．
（2）由牛頓第二定律求小球經過C點時，圓環對小球的作用力大小及方向，再由牛頓第三定律得到小球經過C點對圓環的作用力大小及方向．
（3）結合上題的表達式，分析d的值．

解答 解：（1）在A位置，彈簧的彈性勢能為 E_p1=$\frac{1}{2}k（{L}_{0}-\frac{R}{2}）^{2}$
在C位置，彈簧的彈性勢能為 E_p2=$\frac{1}{2}k（2R-{L}_{0}）^{2}$
根據小球與彈簧組成的系統機械能守恒得：
2mgR+E_p1=E_p2+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{\frac{gR}{4}+3g{L}_{0}}$
（2）在C點，設圓環對小球的作用力大小為F，方向向下，由牛頓第二定律得：
k（2R-L₀）-mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 F=$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$
根據牛頓第三定律得，小球經過C點對圓環的作用力大小為$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$，方向向上．
（3）小球經過C點時對圓環的作用力為零時，在C點，由牛頓第二定律有：
k（2R-L₀）-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
根據小球與彈簧組成的系統機械能守恒得：
2mgR+$\frac{1}{2}k（R-d-{L}_{0}）^{2}$=$\frac{1}{2}k（2R-{L}_{0}）^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯立解得 d=R-L₀-$\sqrt{6{R}^{2}-5R{L}_{0}+{L}_{0}^{2}-\frac{5mgR}{k}}$
答：（1）小球經過C點時的速度v_c是$\sqrt{\frac{gR}{4}+3g{L}_{0}}$．
（2）小球經過C點對圓環的作用力大小$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$，方向向上；
（3）為使小球經過C點時對圓環的作用力為零，P、O間的距離d應為R-L₀-$\sqrt{6{R}^{2}-5R{L}_{0}+{L}_{0}^{2}-\frac{5mgR}{k}}$．

點評 此題中要注意小球的機械能不守恒，球和彈簧組成的系統機械能才守恒．要正確分析圓周運動向心力的來源，由牛頓第二定律和機械能守恒定律結合研究．