Question

12．如圖（a）所示，在坐標平面xOy內存在磁感應強度為B=2T的勻強磁場，OA與OCA為置于豎直平面內的光滑金屬導軌，其中OCA滿足曲線方程$x=0.5sin（\frac{π}{3}y）$m，C為導軌的最右端，導軌OA與OCA相交處的O點和A點分別接有體積可忽略的定值電阻R₁和R₂，其中R₁=4Ω、R₂=12Ω．現有一質量為m=0.1kg的足夠長的金屬棒MN在豎直向上的外力F作用下，以v=3m/s的速度向上勻速運動，設棒與兩導軌接觸良好，除電阻R₁、R₂外其余電阻不計，g取10m/s²，求：
（1）金屬棒MN在導軌上運動時感應電動勢的最大值；
（2）請在圖（b）中畫出金屬棒MN中的感應電流I隨時間t變化的關系圖象；
（3）當金屬棒MN運動到y=2.5m處時，外力F的大小；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運動，當到達y=1.5m處時，電阻R₁的瞬時電功率為P₁=0.9W，在該過程中，金屬棒克服安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒MN沿導軌豎直向上運動，進入磁場中切割磁感線產生感應電動勢．當金屬棒MN勻速運動到C點時，電路中感應電動勢最大，產生的感應電流最大，根據感應電動勢公式及歐姆定律即可求解電流；
（2）根據閉合電路歐姆定律與電阻并聯特征，即可求解；
（3）金屬棒MN勻速運動中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用，受力平衡，根據平衡條件列式即可求解；
（4）克服安培力做的功轉化為焦耳熱，然后求出電阻R產生的焦耳熱，再由動能定理可以求出安培力做的功．

解答 解：（1）當金屬棒MN勻速運動到C點時，電路中感應電動勢最大
金屬棒MN接入電路的有效長度為導軌OCA形狀滿足的曲線方程中的x值．
因此接入電路的金屬棒的有效長度為L=x=0.5sin$\frac{π}{3}$y
則有．L_m=x_m=0.5m
感應電動勢，E_m=BL_mv      
解得：E_m=3.0V
（2）閉合電路歐姆定律，I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{總}}$
且R_總=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=3Ω，
解得：I_m=1.0A，
如圖所示，
（3）金屬棒MN勻速運動中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用
當y=2.5m時，x=0.5sin$\frac{5π}{6}$=0.25m
受力平衡，F_外=F_安+mg=BIL+mg=$\frac{{B}^{2}{x}^{2}v}{{R}_{總}}$+mg=1.25N
（4）當y=1.5m時，x=0.5sin$\frac{π}{2}$=0.5m
此時P₁=0.9W，所以P_總=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{2}}$P₁=1.2W
P_總=F_安v=$\frac{{B}^{2}{x}^{2}{v}_{t}^{2}}{{R}_{總}}$=1.2W     
得此時v_t²=3.6（m/s）²
選取從y=0處到達y=1.5m處時，根據動能定理，則有：W_克=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{t}^{2}$
解得：W_克=1.62J
答：（1）金屬棒MN在導軌上運動時感應電動勢的最大值為3V；
（2）請在圖（b）中畫出金屬棒MN中的感應電流I隨時間t變化的關系圖象如上圖所示；
（3）當金屬棒MN運動到y=2.5m處時，外力F的大小為1.25N；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運動，當到達y=1.5m處時，電阻R₁的瞬時電功率為P₁=0.9W，在該過程中，金屬棒克服安培力所做的功為1.62J．

點評 解得本題要求同學們能分析出什么時候感應電動勢最大，知道金屬棒MN勻速運動時受力平衡，能正確進行受力分析，根據平衡條件求解，難度較大．