Question

19．如圖所示，在豎直平面內，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細圓管CD，圓管內徑略大于小球直徑，管口D端正下方直立一根勁度系數為k=100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊，一個可視為質點的小球放在曲面AB上，小球質量m=1kg．現從距BC的高度為h=0.6m處由靜止釋放小球，它與BC間的動摩擦因數μ=0.5，小球進入管口C端時，它對上管壁有F_N=10N的相互作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中滑塊速度最大時彈簧彈性勢能E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球通過C點時的速度大小；
（2）水平面BC的長度；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大動能E_km．

Answer 1

分析 （1）小球進入管口C端時，對小球進行受力分析，由牛頓第二定律和向心力知識求小球到達C點時的速度；
（2）對小球從A到C的過程運用動能定理列式求解水平面BC的長度；
（3）小球在壓縮彈簧過程中速度最大時，合力為零，由此求彈簧的壓縮量，然后結合機械能守恒即可求出小球的最大動能．

解答 解：（1）設小球在C點處的速度大小為v_C，由牛頓第二定律可知：${F_N}+mg=m\frac{v_C^2}{r}$，
解得：${v_C}=\sqrt{2gr}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s；
（2）設BC的長度為S，小球從A運動到C的過程中，由動能定理可知：$mgh-μmgS=\frac{1}{2}mv_C^2-0$，
解得：S=0.8m；
（3）當小球所受重力等于彈簧彈力時，小球運動速度最大，設此時彈簧的壓縮量為△x，根據平衡條件，有：mg=k△x，
解得：△x=0.1m，
小球從C點運動至速度最大的過程中，由能量守恒可知：$mg（r+△x）={E_p}+{E_{km}}-\frac{1}{2}mv_C^2$，
解得E_km=4.5J；
答：（1）小球通過C點時的速度大小為2m/s；
（2）水平面BC的長度為0.8m；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大動能為4.5J．

點評 解決本題的關鍵要明確小球的受力情況和能量轉化情況．要知道在C點，小球的向心力來源于合力．小球壓縮彈簧時合力為零時速度最大．