Question

14．太空望遠鏡可以搜尋遙遠星系中的“宜居”類地外行星，現發現某顆“宜居”外行星（可看成均勻球體）的自轉周期為T，赤道半徑為R，進一步計算發現該行星的同步衛星軌道距其表面高度為2R，已知萬有引力常量為G，以下說法中正確的是（　　）

• A． 該行星質量為M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 該行星質量為M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 該行星第一宇宙速度大小為$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$
• D． 該行星第一宇宙速度大小為$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$

Answer 1

分析 根據同步衛星所受的萬有引力提供向心力可求出行星的質量，求出行星的近地衛星的線速度即該行星的第一宇宙速度；

解答 解：AB、根據題意，該行星的同步衛星的周期即等于自轉周期T，軌道半徑為：r=R+h=R+2R=3R
根據萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（3R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故AB錯誤；
CD、該行星的第一宇宙速度即近地衛星的線速度，根據$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{R}}$=$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$，故C正確，D錯誤；
故選：C

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．