Question

英國物理學(xué)家卡文迪許第一個在實(shí)驗(yàn)室中測出引力常量，使得萬有引力定律有了使用價(jià)值．
（1）僅用引力常量G、地球半徑R和重力加速度g，求地球的質(zhì)量M．
（2）已知G=6.7×l0^-11N?m²/kg²、R=6.4×l0⁶m、g=9.8m/s²、π=3.1，計(jì)算地球的密度ρ
（3）已知R=6.4×10⁶m、g=10m/s²、π=3.1，計(jì)算繞地球做圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力

GMm

R2

=mg，可解得地球的質(zhì)量M．
（2）根據(jù)公式ρ=

M

V

和V=

4

3

πR3求解密度．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力

GMm

(R+h)2

=m（

2π

T

）²（R+h），得T=2π

(R+h)3 GM

，把地球的質(zhì)量M代入，即可解得該衛(wèi)星的周期．

解答：解：（1）地球地面上的物體m所受萬有引力近似等于重力

GMm

R2

=mg       ①
解得地球的質(zhì)量：M=

gR2

G

                                         ②
（2）地球的密度：ρ=

M

V

=

M

4 3 πR3

=

3g

4πGR

                         ③
代入數(shù)據(jù)解得：ρ=5.5×10³kg/m³ ④
（3）衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動：軌道半徑為R時(shí)對應(yīng)的周期最小；由引力提供向心力得

GMm

R2

=m(

2π

T

)2R                                             ⑤
最小周期：T=2π

R g

                                           ⑥
代入數(shù)據(jù)得T=5.0×10³s=82.7min．
答：（1）地球的質(zhì)量M為

gR2

G

．
（2）地球的密度ρ為5.5×10³kg/m³ ．
（3）已繞地球做圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星的最小周期T為82.7min．

點(diǎn)評：本題要掌握兩個關(guān)系：星球表面的物體受到的重力等于萬有引力；環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運(yùn)動所需要的向心力由萬有引力提供．這兩個關(guān)系可以解決天體運(yùn)動的一切問題．