Question

宇宙飛船以周期為T繞地球作圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，地球自轉周期為T₀，太陽光可看作平行光，宇航員在A點測出地球的張角為α，則（　�。�

• A．飛船繞地球運動的線速度為

  2πR

  Tsin(α/2)

• B．飛船周期為T=

  2πR

  sin(α/2)

  R GMsin(α/2)

• C．一天內飛船經歷“日全食”的次數為T/T₀
• D．飛船每次“日全食”過程的時間為αT/（2π）

Answer 1

分析：宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，由飛船的周期及半徑可求出飛船的線速度；同時由引力提供向心力的表達式，可列出周期與半徑及角度α的關系．當飛船進入地球的影子后出現“日全食”到離開陰影后結束，由地球的自轉時間與宇宙飛船的轉動周期，可求出一天內飛船發生“日全食”的次數；所以算出在陰影里轉動的角度，即可求出發生一次“日全食”的時間．

解答：解：A：飛船繞地球勻速圓周運動
∵線速度為v=

2πr

T

…①
又由幾何關系知sin(

θ

2

)=

R

r

…②
由①②解得：v=

2πR

Tsin(α/2)

，故A正確；
B：萬有引力提供向心力則：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

解得：T=

4π2r3 GM

=

2πR

sin(α/2)

R GMsin(α/2)

，故B正確；
C：地球自轉一圈時間為To，飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，得一天內飛船經歷“日全食”的次數為，n=

T0

T

故C錯誤；
D：由幾何關系，飛船每次“日全食”過程的時間內飛船轉過α角所需的時間為：t=

α

2π

T，故D正確．
故選：ABD

點評：該題要求能夠熟練掌握勻速圓周運動中線速度、角速度及半徑的關系，同時理解萬有引力定律，并利用幾何關系得出轉動的角度．題目難度適中．