Question

如圖所示，光滑水平面上，質量為2m的小球B連接著輕質彈簧，處于靜止狀態；質量為m的小球A以速度v₀向右勻速運動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運動，過一段時間后，A與彈簧分離.設小球A、B與彈簧相互作用過程中無機械能損失，彈簧始終處于彈性限度?以內.

（1）求當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能E.

（2）若開始時在小球B的右側某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走.設小球B與固定擋板的碰撞時間極短，碰后小球B的速度大小不變，但方向相反.設此后彈簧彈性勢能的最大值為E_m，求E_m可能值的范圍.

Answer 1

（1）當A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運動，而B球在彈力作用下加速運動，彈簧勢能增加，當A、B速度相同時，彈簧的勢能最大.

設A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統動量守恒，有

mv₀=(m+2m)v                                                                ①

由機械能守恒得mv₀²= (m+2m)v²+E                                         ②

聯立兩式得  E=mv₀².                                                       ③

（2）設B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時A的速度為v_A,系統動量守恒  mv₀=mv_A+2mv_B                                                                                                ④

B與擋板碰后以v_B向左運動，壓縮彈簧，當A、B速度相同（設為v_共）時彈簧勢能最大，有mv_A-2mv_B=3mv_共                                                             ⑤

mv₀²=×3mv_共²+E_m                                                         ⑥

由④⑤兩式得  v_共=                                                   ⑦

聯立④⑤⑥式，得  E_m=                                 ⑧

經分析可知，當彈簧剛恢復原長時小球B與擋板相碰，碰撞后v_B有最大值v_Bm，有  mv₀=mv_A′+2mv_Bm                                                              ⑨

mv₀²=mv_A′²+ (2m) v_Bm²                                                                          ⑩

聯立以上兩式得  v_Bm=v₀

即vB的取值范圍為  0＜v_B≤v₀                                              

結合⑧式知，當vB=時E_m有最大值為E_m1=mv₀²                             

當v_B=時，E_m有最小值為E_m2=mv₀².