Question

如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形導軌在B點相接，導軌半徑為R．一個質量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，脫離彈簧后當它經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運動完成半個圓周運動恰好到達C點．試求：
（1）彈簧開始時的彈性勢能；
（2）物體從B點運動至C點克服阻力做的功；
（3）物體離開C點后落回水平面時的速度大小和方向．

Answer 1

分析：（1）研究物體經過B點的狀態，根據牛頓運動定律求出物體經過B點的速度，得到物體的動能，物體從A點至B點的過程中機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能等于體經過B點的動能；
（2）物體恰好到達C點時，由重力充當向心力，由牛頓第二定律求出C點的速度，物體從B到C的過程，運用動能定理求解克服阻力做的功；
（3）物體離開軌道后做平拋運動，運用運動的合成和分解法求出物體離開C點后落回水平面時的速度大小和方向．

解答：解：（1）物塊在B點時，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

，
由題意：F_N=7mg
物體經過B點的動能：E_kB=

1

2

mv_B²=3mgR     
在物體從A點至B點的過程中，根據機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能：E_p=E_kB=3mgR．
（2）物體到達C點僅受重力mg，根據牛頓第二定律有：mg=m

v 2 C

R

，E_kC=

1

2

mv_C²=

1

2

mgR
物體從B點到C點只有重力和阻力做功，根據動能定理有：W_阻-mg?2R=E_kC-E_kB
解得：W_阻=-0.5mgR
所以物體從B點運動至C點克服阻力做的功為：W=0.5mgR．
（3）物體離開軌道后做平拋運動，
水平方向有：vx=vc=

gR

堅直方向有：vy=

2?g?2R

=2

gR

落地時的速度大�。�v=

vx2+vy2

=

5gR

與水平方向成θ角斜向下：tanθ=

vy

vx

=2．得θ=arctan2．
答：（1）彈簧開始時的彈性勢能是3mgR；
（2）物體從B點運動至C點克服阻力做的功為0.5mgR；
（3）物體離開C點后落回水平面時的速度大小是

5gR

，方向與水平方向成arctan2角．

點評：本題的解題關鍵是根據牛頓第二定律求出物體經過B、C兩點的速度，再結合動能定理、平拋運動的知識求解．