Question

美國航空航天局和歐洲航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器，在美國東部時間2004年6月30日（北京時間7月1日）抵達預定軌道，開始“拜訪”土星及其衛星家族．“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，先在半徑為R的圓形軌道Ⅰ上繞土星飛行，運行速度大小為v₁．為了進一步探測土星表面的情況，當探測器運行到A點時發動機向前噴出質量為△m的氣體，探測器速度大小減為v₂，進入一個橢圓軌道Ⅱ，運動到B點時再一次改變速度，然后進入離土星更近的半徑為r的圓軌道Ⅲ，如圖所示．設探測器僅受到土星的萬有引力，不考慮土星的衛星對探測器的影響，探測器在A點噴出的氣體速度大小為u．求：

（1）探測器在軌道Ⅲ上的運行速率v₃和加速度的大小；

（2）探測器在A點噴出的氣體質量△m．

Answer 1

（1），；（2）

解析:

（1）在軌道I上，探測器m所受萬有引力提供向心力，設土星質量為M，則有

同理，在軌道Ⅲ上有

由上兩式可得

探測器在軌道Ⅲ上運行時加速度設為a，則

解得

（2）探測器在A點噴出氣體前后，由動量守恒定律，得mv₁=(m－△m)v₂＋△mv

解得