Question

如圖所示，光滑水平面上有一長木板，長木板的上表面也是水平光滑的，右端用不可伸長的輕繩拴在墻上，左端上部固定一輕質彈簧．質量為m的鐵球以某一初速度在木板的上表面上向左勻速運動．最初輕繩是處于平直狀態的．彈簧被壓縮后，鐵球的速度逐漸減小，當速度減小到初速度的一半時，彈簧的彈性勢能為E，此時細繩恰好被拉斷（不考慮這一過程中的能量損失），此后木板開始向左運動．
（1）鐵球開始運動時的初速度v₀是多少？
（2）若木板的質量為M，木板開始運動后彈簧的彈性勢能最大是多少？
（3）為使木板獲得的動能最大，木板的質量應為多大？

Answer 1

分析：（1）繩斷之前，球與彈簧組成的系統能量守恒，由能量守恒定律可以求出球的初速度．
（2）球與木板組成的系統動量守恒，當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，此時彈簧的彈性勢能最大，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢能．
（3）由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出木板的質量．

解答：解：（1）球與彈簧組成的系統能量守恒，
由能量守恒定律得：E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m(

1

2

v0)2，解得：v0=

8E 3m

；
（2）球與木板組成的系統動量守恒，
由動量守恒定律得：m

1

2

v0=(m+M)v，
由能量守恒定律得：E+

1

2

m(

1

2

v0)2=

1

2

(m+M)v2+Em
解得，彈簧的最大彈性勢能：Em=

4M+3m

3(M+m)

E；
（3）對球與木板組成的系統，動量守恒：
m

1

2

v0=Mv1，能量守恒：E+

1

2

m(

1

2

v0)2=

1

2

M

v

2 1

，
解得木板質量：M=

m

4

；
答：（1）鐵球開始運動時的初速度v₀是

8E 3m

；
（2）若木板的質量為M，木板開始運動后彈簧的彈性勢能最大是

4M+3m

3(M+m)

E．
（3）為使木板獲得的動能最大，木板的質量應為

m

4

．

點評：分析清楚球的運動過程，對各過程應由動量守恒定律與能量守恒定律 即可正確解題．