Question

人類發射的空間探測器進入某行星的引力范圍后，繞該行星做勻速圓周運動．已知該行星的半徑為R，探測器運行軌道在其表面上空高h處，運行周期為T．求該行星的質量M=

 

，它的平均密度ρ=

 

．

Answer 1

分析：空間探測器繞該行星做勻速圓周運動，行星的萬有引力提供向心力，用周期表示出向心力F_n=

m4π2(R+h)

T2

，然后結合萬有引力定律即可求出行星的質量．行星看做球體，用球體的體積公式V=

4

3

πR³和ρ=

M

V

進而求出它的平均密度．

解答：解：空間探測器繞該行星做勻速圓周運動，行星的萬有引力提供向心力，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
    

GMm

(R+h)2

=

4π2m(R+h)

T2

  解得求該行星的質量M=

4π2(R+h)3

GT2

行星的體積V=

4

3

πR3，又∵ρ=

M

V

聯立以上三式解得行星的平均密度ρ=

3π(R+h)3

GT2 R3

故答案為：該行星的質量M=

4π2(R+h) 3

GT2

，它的平均密度ρ=

3π(R+h)3

GT2R3

．

點評：此題一定明確萬有引力提供向心力，會用周期表示向心力，還要知道球體的體積公式及密度公式，同時注意公式間的化簡．